Bedingung für Parallelogramm (Vektoren)
Hi, ich schreibe nächsten Mittwoch schriftliches Abitur (Hessen) in meinem Leistungskurs Mathematik und da ist folgende Frage beim Lernen aufgetaucht:
Wenn ich 4 Punkte A, B, C und D gegeben habe und überprüfen soll, ob die sich daraus ergebende Fläche ein Parallelogramm ist, genügt es dann, wenn ich überprüfe, ob 2 gegenüberliegende Seiten gleich sind (sprich gleiche Länge, Richtung und Orientierung) oder muss ich zusätzlich noch die anderen beiden Seiten überprüfen?
Meines Erachtens nach müsste es genügen wenn man 2 Seiten überprüft, meine Mathe-Lehrerin hatte aber mal gemeint, alle 4 sind not wenig.
Vielen Dank schon mal im voraus für alle Antworten!
Für diejenigen, die aus meiner Erklärung oben nicht schlau wurden, führe ich hier mal eine (einfache) Beispielrechnung an:
Es seien folgende Punkte gegeben: A(0|0|0), B(1|1|0), C(1|3|1) und D(0|2|1).
Also ich würde nun einfach überprüfen ob AB und DC übereinstimmen:
AB = ( 1-0 | 1-0 | 0-0 ) = (1|1|0); DC = ( 1-0 | 3-2 | 1-1 ) = (1|1|0) => AB = DC
Genügt nun der Beweis, dass AB und DC gleich sind, oder muss ich zusätzlich noch zeigen, dass BC = DA gilt?
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Melvissimo/1444746420_nmmslarge.jpg?v=1444746420000)
Man hat ein Viereck ABCD und kann zeigen, dass zwei gegenüberliegende Seiten "gleich" sind, ohne Einschränkung kann man annehmen, dass AB = DC ist.
Ich bezeichne mit a den Vektor AB. Es gilt also:
B = A + a und C = D + a.
Wir wollen, dass BC = AD gilt. Es gilt aber:
BC = (A + a)C = (A + a)(D + a)... Man sollte an dieser Stelle nicht vergessen, dass hier ein Vektor zwischen 2 Punkten gemeint ist und kein Produkt, also sollte man es nicht mit dem Distributivgesetz versuchen ;)
Es folgt: BC = (A + a)(D + a) = D + a - (A + a) = D - A = AD. Also sind die anderen beiden Seiten automatisch parallel.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/13_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Bei einem "im Raum liegenden" Parallelogramm sind die Enden von zwei gegenüberliegenden Seiten auch die Ausgangspunkte der anderen Geraden. Also würde durch den Nachweis, dass 2 gegenüber liegende Seiten gleich lang und zueinander parallel in einer Ebene verlaufen, ausreichen.
Stelle das doch einmal mit beiden parallelen Seiten gegenüber!
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/14_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ich denke, dass der Gedanke Melvissimos ein gültiger Beweis ist, finde aber seine Schreibweise recht verwirrend. Sie lässt sich vermeiden, indem Differenzen der Ortsvektoren betrachtet werden:
Voraussetzung:
B - A = C -D
Behauptung:
C -B = D -A
Beweis:
C -B =
C -B +A -A =
C -(B-A) - A = | mit der Voraussetzung:
C-(C-D) -A =
D -A, q.e.d.
DIese "Kompaktform" würde ich, natürlich schön brav in Kleinbuchstaben mit Vektopfeilchen verstehen, im Zweifel auch in die Abi-Arbeit schreiben, statt überflüssigerweise mit vielen Koordinaten herumzuhantieren... was am Ende nur Rechenfehler bringt.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ich glaube es müsste reichen wenn zwei gegenüberliegende parallel und gleich lang sind =/ .