Mathe: Extremwertaufgabe Zielfunktion gesucht?
Hey Leute könnt ihr mir bei dieser Aufgabe behilflich sein? Verstehe nicht, was die Zielfunktion davon ist. Also was wäre bei dieser Extremwertaufgabe die Hauptbedingung und die Nebenbedinging?
4 Antworten
Dort steht, es ist zu berechnen wann der Materialverbrauch am geringsten ist. Es geht also daraum etwas zu optimieren. Das ist dann die Extremalbedingung und zwar die Oberfläche zu minimieren.
Stelle zunächst eine Formel für die Oberfläche auf. Die Formel für eine Extremalbedinung ist zunächst immer von 2 Variablen abhängig, hier wäre das x und y.
min A(x,y) = (5*y) *2 +2*x*y + 2*(5*x)
Das wäre ganz simpel die Oberflächenformel, Front und Rückseite + 2* Stirnseiten + Grundriss und Deckel
Die Oberfläche wäre am geringsten, wenn x = 0 und y = 0. Das wäre optimial. Problem dabei ist, die Schachtel wäre nicht existent. Daher gibt es noch eine verpflichtende Nebenbedingung. Die Schachtel soll eben doch existent sein und ein Volumen von V = 45 cm³ haben.
Stelle eine Formel für das Volumen auf. Auch das ist zunächst wieder von zwei Variablen abhängig und zwar x und y.
V(x,y) = 5 * x * y
Du hast nun zwei Formel gefunden. Extremwertaufgaben gehen immer gleich. Die Nebenbedingung nach einer Variablen auflösen und in die Extremalbedingung einsetzen. Du hast vorher zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten gehabt und anschließend nach dem Einsetzen nur noch eine Extremalgleichung mit einer Unbekannten. Dann die Extremalbedingung einmal ableiten.
Je nachdem was laut Aufgabenstellung gesucht ist (hier eine Minimierung des Materials) musst du von A(x) den Tiefpunkt finden. Löse A'(x) nach x auf und du erhälst die Länge für x bei der die Oberfläche minimal ist. Hast du x gefunden, kannst du y ausrechnen. Fertig!
Der Materialverbrauch richtet sich nach der Fläche, also
F(x,y,z) = 2xy + 2xz + 2yz
Da eine Seite vorgegeben ist, können wir gleich einsetzen
F(x,y) = 2xy + 10x + 10y.
Das Volumen ist V(x) = 45 = xyz = 5xy (ohne Einheiten).
Das Volumen 5xy = 45 ist die Nebenbedingung, umformuliert zu 45 - 5xy = 0, zu optimieren ist F(x,y) =2xy + 10x + 10y.
Das jetzt mit Lagrange oder mit Kuhn-Kush-Tucker oder mit sonst was.
Also zum Beispiel via L(x,y,l) = 2xy + 10x + 10y - l(45 - 5xy) und das nach allen drei Variablen x,y und l ableiten und so weiter.
Der Materialverbrauch soll minimiert werden. Das "Material" entspricht der Oberfläche der Schachtel.
D.h. die Zielfunktion ist die Funktion zur Berechnung der Oberfläche A:
A(x,y)=2(5x+5y+xy)
Nebenbedingung ist, dass das Volumen 45cm³ betragen soll. D.h.
V(x,y)=5xy=45
Die Oberfläche, also 2 (xy + 5x + 5y), soll minimal werden.
Das ist die Hauptbedingung. Die Nebenbedingung ist das gegebene
Volumen, also 5*x*y = 45.