Mathematik Vektorrechnung 13.Klasse
Hallo, bald ist die Klausur und Ich hab noch Fragen. Ich komm hier nicht weiter. Ich brauche die Rechnung für diese Aufgabe.. Gesucht Koordinaten des Würfelmittelpunktes.
Angegeben: A(3/2/1) B(3/6/1) G(-1/6/5) E(3/2/5) F(3/6/5) C(-1/6/1) D(-1/2/1) H(-1/2/5)
Danke im vorraus..
10 Antworten
Ich gehe davon aus, dass die gegebenen acht Punkte die Ecken des Würfels sein sollen.
In einem Würfel ist die Verbindung von je zwei Ecken entweder eine Kante, eine Flächendiagonale oder eine Raumdiagonale. Alle Kanten sind gleich lang, alle Flächendiagonalen sind gleich lang (aber länger als die Kanten) und alle Raumdiagonalen sind gleich lang (aber länger als die Flächendiagonalen und die Kanten). t die längste,
Der Würfelmittelpunkt liegt in der Mitte der Raumdiagonalen des Würfels.
Man müsste nun also so lange den Abstand je zweier verschiedener Paare der gegebenen Punkte bestimmen, bis man drei verschieden lange Abstände ermittelt hat. Der größte dieser Abstände ist dann die Länge der Raumdiagonalen. Wenn man soweit ist dann muss man nur noch aus den Koordinaten der an dieser Raumdiagonalen beteiligten Ecken den Mittelpunkt der Raumdiagonalen bestimmen. Das ist gleichzeitig der Mittelpunkt des Würfels.
Da es nun aber 12 Kanten, 12 Flächendiagonalen und 4 Raumdiagonalen gibt, kann es schlimmstenfalls passieren, dass man erst bei der 25. dieser Abstandsberechnungen eine Raumdiagonale "erwischt". Das schreit danach, dass versucht werden sollte, etwas systematischer vorzugehen.
Dazu schaut man sich die Koordinaten an, macht eine grobe Skizze und erkennt, dass z.B. die Strecke AB ein Kante, die Strecke AC eine Flächendiagonale und die Strecke AG eine Raumdiagonale des Würfels ist.
Damit hat man es nun einfacher. Man kann gezielt die Längen der genannten Strecken ermitteln und so zeigen, dass es drei verschieden lange Strecken sind. Die längste dieser Strecken, im Beispiel nämlich die Strecke AG ist eine der Raumdiagonalen des Würfels. Der Würfelmittelpunkt M liegt in der Mitte dieser Strecke, hat also die Koordinaten:
M = [ ( 3 | 2 | 1 ) + ( - 1 | 6 | 5 ) ] / 2 = ( 1 | 4 | 3 )
Was sind das für Punkte? Warum so viele für einen Würfel? Gibts ne Grafik dazu?
genau sind Eckpunkte# mit den anderen Punkten sieht es halt 3 dimensional aus
Zwei diagonal gegenüber liegende Eckpunkte (einer oben, einer unten), wählen; den Vektor bestimmen und anschliessend Ausgangspunkt + 0,5x Vektor.
Hallo, wenn man sich das mal im Geiste aufmalt, wird die Grundfläche gebildet aus den Punkten A, B, C, D entgegen dem Uhrzeigersinn, die Deckfläche wird gebildet aus den Punkten E, F, G, H, ebenfalls entgegen dem Uhrzeigersinn. Falls der Mittelpunkt des Würfels genau bei der halben Raumdiagonale liegt, würde ich eben diese mal aufschreiben:
| e | = Wurzel(x² + y² + z²) = Wurzel(4² + 4² + 4²) = Wurzel(48) = 6,928...
Ach ja, die Kantenlänge des Würfels beträgt 4 LE.
Du brauchst nun noch die Raumdiagonale des Würfels:
e = AB + BC + CG, wobei
AB = B - A,
BC = C - B,
CG = G - C
ist. Nun hast du die Raumdiagonale! Alternativ kannst du die andere Raumdiagonale bilden uund beide Vektoren sich schneiden lassen. Der Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des Würfels.
Hab etw vergessen Lsg ist Würfelmittelpunkt (1/4/3)
Was ich meinte ist Folgendes: Hast du die Raumdiagonale, hast du auch die halbe Raumdiagonale. Das ist ein Vektor, der die gleiche Richtung und Orientierung hat wie die Raumdiagonale, nur dass er hab so lang ist!
Also man rechnet mit der Abstandsformel und man erkennt halt das die Mitte der Würfelmittelpunkt, Aber Ich brauch von dem Punkt den X Y Z Wert; ich weiß wo sich der Punkt befindet aber kenn dessen Werte nicht.
Hab etw vergessen Lsg ist Würfelmittelpunkt (1/4/3) hatte Ich zur kontrolle hinterfragt
Der Mittelpunkt des Würfels befindet sich im Schnittpunkt der Würfeldiagonalen. Also der Geraden g1, die durch A und G geht, der Geraden g2, die durch B und H geht, der Geraden g3, die durch C und E geht und der Geraden g4, die durch D und F geht.
Stelle einfach die Geradengleichungen auf und setze gleich. Müsste es eigentlich schon gewesen sein. Dass die Kanten orthogonal aufeinander stehen und gleich lang sind kannst du dir auch noch leicht überlegen (als Nachweis, dass es wirklich ein Würfel ist und nicht irgendein beliebiges Prisma o.ä.).
Da es sich um 8 Punkte handelt, könnte man evtl. auf die Idee kommen, dass es sich dabei um die Ecken des Würfels handeln soll ... Sicher ist das allerdings nicht, es müsste erst nachgewiesen werden. Oder der Fragestller gibt an, dass es die Eckpunkte sein sollen.