Matherätsel Fakultät?
Hey,
kann mir jemand sagen, wie man diese Aufgabe (natürlich ohne Taschenrechner) löst? (Känguru der Mathematik 2018 Klasse 11-13)
Danke im Voraus!
4 Antworten
Hallo,
Antwort E ist korrekt.
Die drei Nullen am Schluß müssen durch die Faktoren 2*5, 10 und 12*15 entstanden sein.
Das sind 10*10*180=18000.
Die Ziffer vor diesen drei Nullen ist eine 8.
Die multiplizierst Du nun mit den restlichen Zahlen aus der Reihe, also
mit 3,4,6,7,8,9,11,13,14, wobei Dich nur die Endziffern interessieren:
8*3=24, Endziffer 4.
4*4=16, Endziffer 6.
6*6=36, Endziffer 6 usw.
Wenn Du das bis zur 14 durchziehst, bekommst Du als endgültige Endziffer vor den drei Nullen ebenfalls eine 8.
Da 15! auch die 9 als Faktor enthält, muß auch die Quersumme des Ergebnisses durch 9 teilbar sein.
Du setzt also die 8 als 10. Ziffer ein, ermittelst die Quersumme der Zahl ohne die 2. Ziffer und überlegst, um welche Ziffer Du diese ergänzen mußt, um eine durch 9 teilbare Quersumme zu erhalten.
So kommst Du auf die 3.
Herzliche Grüße,
Willy
Wenn wir das Ergebnis durch 1000 teilen, muss die letzte Ziffer des Quotienten ja die zweite gesuchte Ziffer sein.
Nun ist 1000 = 2 * 4 * 5 * 5 * 5. Wenn wir also diese Faktoren aus der Fakultät entfernen, können wir 15! durch 1000 teilen, ohne dNunas genaue Ergebnis zu kennen. Die 3 fünfen nehmen wir aus den Faktoren 5, 10 und 15. Übrig bleibt (nach Entfernen der Einsen):
1/1000 * 15! = 3 * 6 * 7 * 8 * 9 * 2 * 11 * 12 * 13 * 14 * 3.
Uns interessiert die letzte Ziffer dieses Produktes. Hierfür braucht man nur die letzte Ziffer des Produktes der Einerstellen der Faktoren zu bestimmen, also von:
3 * 6 * 7 * 8 * 9 * 2 * 2 * 3 * 4 * 3.
Nun ist 9 * 3 * 3 = 81 und 7 * 3 = 21. Beide enden auf 1 und können daher weggelassen werden.
Es bleibt 6 * 8 * 2 * 2 * 4 = 6 * 128, was auf 8 endet wegen 6 * 8 = 48.
Daher ist die letzte Ziffer eine 8. Es kommen also nur (B) und (E) infrage.
Zurück zum großen Produkt 15! = 1 * 2 * 3 * ... * 15.
Da taucht der Faktor 3 drin auf, also muss es durch 3 teilbar sein. Das ist genau dann der Fall, wenn die Quersumme des Produktes durch 3 teilbar ist. Wir berechnen die Quersumme als:
1 + x + 7 + 6 + 7 + 4 + 3 + 6 + 8. Da 3, 6, 1+8 und 7+7+4 alle durch 3 teilbar sind, muss x durch 3 teilbar sein. Damit ist Antwort (B) falsch, weswegen Antwort (E) korrekt ist.
Die Zahl ist durch 9 teilbar. Damit scheiden (A) und (B) aus, weil damit die Quersumme nicht durch 9 teilbar ist.
Die Zahl ist auch durch 7·11··13=1001 teilbar. Vielleicht hilft das.
http://www.weblearn.hs-bremen.de/risse/MAI/docs/Kanguru/kanguru18.pdf
Letzte Folie ist die Lösung zu dieser Aufgabe.