Extremwertaufgabe ZF und NB?
Hallo :) Hier eine Matheaufgabe bei der ich nicht durchsehe :
Der Graph von f(x)=1/x , x>0 und die Geraden y=2 sowie x=4 schließen ein Gebiet ein, in das ein achsen paralleles Rechteck gelegt werden soll.
a) Welche Maße hat das Rechteck, wenn sein Flächeninhalt maximal sein soll ? b) Welche Maße hat das Rechteck, wenn sein Umfang maximal sein soll ?
Ich weiß nicht welche Zielfunktion und Nebenbedingung ich nutzen soll ....
3 Antworten
Die Nebenbedingung ist die Funktion selbst.
Zielbedingung: Welche Größe soll minimal/maximal werden?
Bei a): Der Flächeninhalt; also: A = a·b.
Nebenbedingung: Besteht ein Zusammenhang zwischen den Größen (hier a und b)? Ja, da das Rechteck unter dem Grapen von f liegen soll. Der Zusamenhang besteht darin, dass die Höhe des Rechtecks durch den Funktionswert an der Stelle a gegeben ist: b = f(a)
So kommst Du auf die A(a), indem Du für b f(a) einsetzt. Dann geht's weiter wie üblich bei Extremstellenbestimmung.
Tipp: Skizze machen!!!
Und hätte ich mir selber vorher eine Skizze gemacht und die Aufgabe sorgfältiger gelesen, hätte ich auch meinen eigenen Fehler bemerkt :-))
richtige Lösung bei fjf100
1. Schritt : Ein Zeichnung machen
Ar=a*b=y*b aus der Zeichnung entnehmen wir y=2-1/x und b=4-x
Ar(x)=(2-1/x)*(4-x)=-2*x-47x+9 abgeleitet
A´r(x)=0=-2+4/x^2 ergibt x=Wurzel(4/2)=1,414
prüfe mit der 2.ten Ableitung,ob ein Maximum vorliegt.
U=2*a+2*b=2*y+2*b=2*(2-1/x)+2*(4-x)=-2*x-2/x+12 abgeleitet
U´(x)=0=-2+2/x^2 ergibt x=Wurzel(1)=1 noch mal abgeleitet
U´´(x)=0=-2/x^3 <0 ist ein "Minimum"
prüfe auf Rechen-u. Tippfehler
Vielen Dank !