Mathematik - Aufprallpunkt an Bande berechnen (Billard), wenn man Anfang und Ende kennt.
Hallo,
ich (etwas betagt) sitze momentan an einem Problem. Ist ein Mathe-Spezi unter Euch? In dem Bild ist eine Skizze, die die Frage verdeutlicht.
Im Prinzip geht es um das Abspielen einer Billardkugel gegen die linke Bande (ohne Drall uä., Einfalls- = Ausfallswinkel). Wie berechne ich den Punkt an der Bande, wenn ich den Anfang- und den Endpunkt kenne?
Ich bin gespannt und voller Hoffnung auf Eure Antworten.
3 Antworten
s1 (bzw. s2) sei die gesuchte Strecke in Dreieck 1 (bzw. Dreieck 2).
Die Dreiecke 1 und 2 sind beide rechtwinklig.
A. Wenn dich mehr die Streckenlängen interessieren, ist mit Pythagoras:
s1 = √ (b² -f²) ; s2 = √(a² -d²)
B. Wenn dich mehr (zum Abschätzen) das Verhältnis der Strecken interessiert: Wegen w1 = w1 ist
s1 / b = cos(w1) = cos(w2) = s2 / a, also
s1 / s2 = a / b
C. Es gibt noch zahlreiche andere Möglichkeiten, je nachdem, was genau gegeben ist. Bitte Rückmeldung bei Bedarf.
Danke erstmal für deine Antwort!
Beispiel: 2 Kugeln liegen auf dem Billardtisch: 1 unten in der Mitte und 1 oben rechts. Wenn man nun an die linke Bande ein Lineal anlegt, an dem gesuchten Punkt eine Markierung setzt und die untere Kugel genau auf die Markierung treffen lässt, soll die (Ziel-)Kugel oben rechts getroffen werden. Die Winkel w1 und w2 sind auf jeden Fall identisch.
Man kennt am Anfang also nur den Start- und den Endpunkt. Also, wo muss die Bande getroffen werden? :-)
Ich gehe davon aus, dass du die Länge f des Tischs und seine Breite g kennst und die Strecke d (Startpunkt S bis untere linke Ecke E) messen kannst. Dann lässt sich die Strecke s2 (E bis Reflexionspunkt R an der Bande) berechnen.
War es das? Falls nicht, bitte Aufgabestellung nach Möglichkeit präzisieren.
D. Sei R' die rechte obere Ecke, E' die rechte untere Ecke des Tischs.
Die Spiegelung von S an der Bande ergibt einen Punkt S' außerhalb des Billiardtischs, der von E den gleichen Abstand d hat wie S und von E' den Abstand d+f.
In der Figur S'ERE'R' gilt gilt mit Strahlensatz:
d / (d+f) = s2 / g, also
s2 = d g / (d+f); (1)
E. Herleitung der gleichen Formel ohne Spiegelpunkt
Wegen w1 = w2 sind die Dreieck 1 und Dreieck 2 geometrisch ähnlich; also ist auch
d / f = s2 / s1
Mit s1 + s2 = g ⇔ s1 = g - s2 folgt:
d / f = s2 / (g - s2)
d (g -s2) = f s2
dg = s2(f + d)
s2 = d g / (d +f), s.o. (1)
Wenn w1 ODER w2 bekannt ist, würde ich da sso rechnen:
?1=cos(w1) * b
g-?1 =?2
?1 steht für die obere unbekannte länge und ?2 für die untere
Danke für deine Antwort! Bitte ließ meinen (neuen) Kommentar beim vorherigen Posting. :-)
also, ich habe den Endpunkt an der linken Bande gespiegelt und dann nur noch mit dem Strahlensatz gearbeitet.
Ergebnis war:
g*f/(f+d)=x
x steht für das ober Fragezeichen und g-x steht für das untere
bitte korrigiert mich falls ich falsch liegen sollte
Tippfehler. "Wegen w1 = w1 ist (...)" muss heißen "Wegen w1 = w2 ist (...) "