Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariabel
Ich hab hier ne Aufgabe die ich am knobeln bin aber irgendwie komm ich nicht aufs Ergebnis, kann mir da mal jemand kurz unter die Arme greifen?
Die Aufgabe lautet wie folgt: Das nebenstehend abgebildete Glücksrad wird zweimal gedreht. Man erhält so viel ausbezahlt wie die Zahl am Rand des jeweiligen Sektor angibt. Es sei P das Produkt der Gewinnbeträge. Berechne E(P) und V(P)
und das Glücksrad ist ein 3 geteiltes Rad bei dem man 1€ mit 1/6 Chance gewinnt, 2€ mit Chance von 1/2 und 4€ mit ner Chance von 1/3.
Jetzt hab ich versucht 11/6+21/2+4*1/3 aber das stimmt nicht... Weis jemand von euch wie die Aufgabe da geht? Bin da in ne Mauer gelaufen..
3 Antworten
Für stochastisch unabhängige Variablen X und Y gilt: E(XY) = E(X)E(Y).
So, nun sei X = Gewinn beim ersten Mal drehen und
Y = Gewinn beim zweiten Mal.
Die beiden Variablen sind gleichverteilt und stochastisch unabhängig. Außerdem gilt offenbar P=XY. Weiterhin hast du E(X)=E(Y) bereits ausgerechnet...
Unter den 9 von PWolff erwähnten Möglichkeiten kommen
- die 3 Möglichkeiten mit je zwei gleichen €-Beträgen je 1mal vor (a) und
- die 3 Möglichkeiten mit je zwei verschiedenen gleichen €-Beträgen je 2mal vor, denn die Beträge können in einer Reihenfolge oder aber der umgekehrten erscheinen. (b)
Für jede Möglichkeit wir das zu erwartenede € -Produkt mit seiner Wahrscheinlichkeit mutlipliziert, wie das bei Melvissimo steht, wobei die Wahrscheinlichkeiten der Möglichkeiten (b) doppelt zählen.
Ich komme auf 6 1/4 (€).
Da steht etwas ziemlich ungewöhnliches für die Aufgabeneinkleidung (vielleicht absichtlich zwecks Verwirrung?), nämlich, dass die bezogene Größe das Produkt (nicht die Summe) der Gewinnbeträge ist.
Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
Was sind also die möglichen Ausgänge des Experiments? (vgl. zweimaliges Würfeln mit einem Würfel)
P. S.: Unter der Einheit €^2 kann ich mir auch nichts vorstellen ... Dagegen ist €^4 für die Varianz ja geradezu harmlos.
Das schon aber es geht darum denke ich das man den Erwartungswert der einzelnen Summen also 1€,2€ und 4€ mit jeweils den Chancen multipliziert und darauf quadriert dann würde das richtige Ergebnis raus kommen aber irgendwie weis ich nicht wieso es das quadrat ist.. :D
Das Experiment besteht aus zweimaligem Drehen des Glücksrades.
(Und dieses zweimalige Drehen muss sehr oft durchgeführt werden, um experimentelle Statistik zu betreiben)
Jedes Drehen des Glücksrades hat 3 mögliche Ausgänge.
Insgesamt hat das Experiment also 3^2 mögliche Ausgänge.
Die Wahrscheinlichkeiten sind die Produkte der Einzelwahrscheinlichkeiten, wenn wir voraussetzen dass das Ergebnis des 2. Drehens vom Ergebnis des 1. Drehens unagbhängig ist. (Es wäre ja im Prinzip auch denkbar, dass das Rad immer nur so stark angestoßen wird, dass es gerade mal 1 Feld weiterrutscht.)
Also:
X(1,1) = 1€ * 1€ p(1,1) = 1/6 * 1/6
X(1,2) = 1€ * 2€ p(1,2) = 1/6 * 1/2
X(1,3) = 1€ * 4€ p(1,3) = 1/6 * 1/3
X(2,1) = 2€ * 1€ p(2,1) = 1/2 * 1/6etc.
Damit hast du die 9 möglichen Ausgänge mit ihren Wahrscheinlichkeiten.
E(X) = Summe über alle X ( X * p(X) )
V(X) = Summe über alle X ( (X - E(X))^2 * p(X) )Letzteres kann auch vereinfacht werden zu
V(X) = Summe über alle X ( X^2 * p(X) ) - (E(X))^2
Ja das hat mich auch verwundert aber ich hab kein Plan..