Matheaufgabe zu Extremalproblem hilfe?
Also wir beschäftigen uns derzeit unter Anderem mit Extremalproblemen in der Schule und bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter: Auf 850 ml Volumen ausgelegte Konservendosen haben, unabhängig von ihrem Inhalt, stets dieselbe Form. Berechnen Sie die Höhe und den Radius der Dosen bei optimalem Materialsverbrauch (also möglichst gering).
Ich wäre sehr dankbar über eine Erklärung plus einen Rechenweg.
LG
2 Antworten
2 pi r² + 2 pi r h soll minimal werden
Nebenbedingung: pi r² h = 850, Nebenbedingung umformen, so dass bei h in die Zielfunktion eingesetzt werden kann
h = 850/ (pi r²)
einsetzen:
2 pi r² + 2 pi r * 850/(pi r²)
vereinfachen:
2 pi r² + 1700/r
Ableiten
4pi r -1700/r²
Nullstelle bei: 5,133
zweite Ableitung 4 pi +3400/r³ ist größer als null, also liegt ein Tiefpunkit vor
Bei einem Radius von 5,133 cm ist die Oberfläche der Dose und damit der Blechverbrauch am geringsten. Eingesetzt in die Formel für die Höhe ergibt sich eine Höhe von 10,27 cm
Die Oberfläche beträgt, r eingesetzt in die vereinfachte Zielfunktion oder in die Allgemeine Oberflächenformel, 496,7 cm²
ok danke, das hat mir sehr geholfen (auch wenn ich das nicht ganz verstanden hab wie du da vereinfacht hast.. xD). danke^^
ok jetzt hab ich doch noch eine Frage: wie bist von -1700/r^2 auf +3400/r^3 gekommen? Könntest du mir das noch erklären?
Materialverbrauch: Oberfläche eines Zylinders.
Volumen: Volumen eines Zylinders.
Formeln aufstellen, eine Formel in die andere einfügen und den Materialverbrauch als Funktion in Abhängigkeit vom Radius (oder der Höhe) betrachten. Dann das Minimum vom Materialverbrauch (1. Ableitung = Null) bestimmen.
(Hoffe ich zumindest...)
Ja dass ich das machen muss weiss ich auch.. nur wie ich zb die eine formel in die andre einfüge versteh ich überhaupt nicht