Was ist die Größtmögliche Fläche bei 20m Zaun und einer Hauswand?
Unser Lehrer hat uns heute gefragt was die größtmögliche Fläche ist.
Aufgabe:
Du hast 20m Zaun und willst an deiner Hauswand ein möglichst großes Gehege bauen. Die Hauswand ist 15 Meter. Man muss nicht die Hauswand der Länge ausfüllen
Ich kam nach kurzen überlegen auf 50m^2, doch das war anscheinend falsch.
Edit:
Meine Rechnung ist 5*10 dann kommt man auf 50 m^2, da eine Seite aufgrund der Wand wegfällt
und es muss ein rechteck sein, Kreise bzw Halbkreise sind leider nicht erlaubt
9 Antworten
Ich komme auf 63,66qm. Mein Ansatz ist, einen Halbkreis an der Hauswand zu bilden. Ich kann aber nicht sagen, ob es nicht eine noch besser Möglichkeit gibt. Meistens ist es jedoch so, dass solche Lösungen gegen ideale Figuren stoßen. Also ein Quadrat ist wahrscheinlicher als ein Rechteck und ein Kreis wahrscheinlicher als eine Ellipse.
Meine Rechnung:
u = pi*d | :2
u/2 = pi*r
20 = pi*r | :pi
r = 20/pi
A/2 = pi*(20/pi)² /2
= (20²/pi)/2
= 63,66
@Willy1729: Danke, durch dich habe ich nochmal nachgerechnet und meinen Fehler gefunden, einmal zu wenig durch pi geteilt zu haben.
Die Frage, die sich zuerst mal stellt ist, ob es ein rechteckiges Gehege ergeben muss, oder ob es auch rund sein darf.
Die größte Fläche erreicht man immer mit einem Kreis. Da wir hier eine Wand haben, brauchen wir aber nur einen Halbkreis.
Der Umfang ist 20m * 2 = 40m.
=> U = 2 * PI * r
=> 40m / 2 / PI = r
=> r ~ 6, 366m
Die Fläche des Halbkreises ist A = PI * r^2 / 2
=> A = PI * 6,366m^2 / 2
=> A = 127.324m^2 / 2
=> A = 63.662 m^2
Die Größtmögliche Fläche ist immer das Quadrat.
Wenn du also 20 m Zaun hast und der für 3 Seiten reichen soll (4.Seite Hauswand), rechnest du einfach 20/3 für die Seitenlänge deines Quadrates
macht also 6,6 m Seitenlänge. 6,6 x 6,6 macht 44 qm Fläche
Nach längerem Überlegen ist abgesehen vom Kreis die größtmögliche Fläche ein Rechteck, das dem goldenen Schnitt entspricht, also die langen Seiten doppelt so lang wie die kurzen.
Dann käme ich auf ungefähr 60 qm, was in etwa dem Halbreis entspricht....
Ja, es wurde ja überhaupt nicht bedacht, das die Hauswand ja eine Flexible Seite ist und dadurch der Umfang der Fläche 20 m + x ist. Wobei x 0 bis15 m ist.
Ist mir auch erst späterer aufgefallen.
Wie kamst Du auf 50 qm?
Logisch wäre, die ganze Hauswand einzubeziehen, man hätte dann 20 m Zaun plus 15, könnte aber nur ein Rechteck mit Seitenlänge 15 bauen. also 15 X 2,5, macht 37,5 qm.
50 m² ist das Maximum bei einem rechteckigen Gehege unter Einbeziehung der Hauswand.
Nebenbedingung: 2a+b=20
Zielfunktion: A=a*b=max
Nein, da ist ein Denkfehler: 2a+ b wären dann ja 35 (die 20 m Zaun plus Hauswand).
Bei genauerem Überlegen wäre das ideale Rechteck eins, das dem goldenen Schnitt entspricht: lange Seite doppelt so lang wie die kurze.
Wir hätten incl. Hauswand 35 m, geteilt durch 2: 17,5 entspricht einer kurzen plus langen Seite.
Geteilt durch 3: 5,8.
Also lange Seite ca. (Kopfrechnen...) 17,5, kurze 5,8
Dann komm ich auf ca. 60 qm, was in etwa auch dem Halbkreis entspricht.
Du hast insgesamt nur 20 m Zaun.
Damit kommst Du kaum auf eine lange Seite von 17,5 m und eine kurze von 5,8 m.
Ein Rechteck beseht aus zwei kurzen und zwei langen Seiten.
Eine lange Seite geht von den 20 m ab, die andere bildet die Wand.
Bleiben noch die beiden kurzen.
Wenn 17,5 m schon weg sind, bleiben für die beiden zusammen nur 2,5 m.
Wie willst Du da auf 60 m² kommen?
Ach ja, Quatsch, ein Schritt vergessen....die kurze ist 5, 8, die lange dann das doppelte, also knapp 12. Es werden also 12 m Wand mit einbezogen.
(Nicht genau nachgerechnet, nur überschlagen))
5, 8 x 12 macht ca. 60...
Die Wand wird doch ins Rechteck einbezogen, bzw. nun 12 m davon, man hat also mehr als die 20 vom Zaun, nämlich 32.
Nein. Du hast die Wand plus 20 m Zaun.
Wenn Du ein Rechteck baust, gehen drei Seiten für den Zaun drauf - und diese drei Seiten haben zusammen 20 m.
Die größte Fläche, die auf diese Weise möglich ist, ergibt 50 m².
Die größtmögliche Fläche überhaupt ist ein Halbkreis.
Hallo,
mach einen Halbkreis aus dem Gehege mit einem Teil der Hauswand als Durchmesser.
Dann kommst Du auf etwa 63,66 m²
Herzliche Grüße,
Willy
ok. gebe zu, das mit dem Halbkreis ist natürlich auch ne Möglichkeit.