Matheaufgabe?
in einer Urne sind 5 weiße und 3 blaue Kugeln
Bestätige dass 2 blaue und eine weiße gezogen werden mit der Wahrscheinlichkeit 1/56
kann mir das jemand vorrechnen mit Erklärung bitte
4 Antworten
Hallo,
das kann man nicht bestätigen, weil die Wahrscheinlichkeit 15/56 beträgt, nicht 1/56.
Hypergeometrische Verteilung: (3 über 2)*(5 über 1)/(8 über 3)=15/56.
Herzliche Grüße,
Willy
Dazu stellen wir am besten einen "Entscheidungsbaum" auf.
Erste Kugel:
+--(5/8)--> weiß
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Ausgang --> +
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+--(3/8)--> blau
Zweite Kugel:
+--(4/7)--> weiß (*)
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+--(5/8)--> weiß --> +
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| +--(3/7)--> blau
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Ausgang --> +
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| +--(5/7)--> weiß
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+--(3/8)--> blau --> +
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+--(2/7)--> blau
Dritte Kugel:
+--(4/7)--> weiß (*)
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+--(5/8)--> weiß --> +
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| | +--(4/6)--> weiß (nicht ok)
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| +--(3/7)--> blau --> +
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| +--(2/6)--> blau (ok)
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Ausgang --> +
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| +--(4/6)--> weiß (nicht ok)
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| +--(5/7)--> weiß --> +
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| | +--(2/6)--> blau (ok)
+--(3/8)--> blau --> +
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| +--(5/6)--> weiß (ok)
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+--(2/7)--> blau --> +
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+--(1/6)--> blau (nicht ok)
Anmerkung (*): hier können wir aufhören, weil von hier aus keine Fortführung zum Ziel führen kann
Die Wahrscheinlichkeit für jeden "ok"-Weg ergibt sich durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten jeder einzelnen Verzweigung:
(5/8) * (3/7) * (2/6) = 30/336 = 5/56
(3/8) * (5/7) * (2/6) = 30/336 = 5/56
(3/8) * (2/7) * (5/6) = 30/336 = 5/56
Die Gesamtwahrscheinlichkeit für "ok" ist die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten:
P("ok") = 5/56 + 5/56 + 5/56 = 15/56
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Es gibt auch Tricks, die Rechnung abzukürzen, aber um die zu verstehen, muss man die Standardwege (z. B. diesen) schon verstanden haben.
Anmerkung: Dass man einen Zweig nicht weiterverfolgt, sobald klar ist, dass er nicht zum Ziel führen kann, ist unter dem Stichwort "Branch and Bound" bekannt.
oder so , auf holzfällerArt
( 3/8 * 2/7 * 5/6 ) * 3 = 15/56
Mal 3 ? weil die weiße Kugel an erster , zweiter oder dritter Stelle gezogen werden kann .
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achso warum durch 8 durch 7 durch 6 ? weil nach jedem Zug eine Kugel weniger in der Urne liegt ( Ziehen OHNE Zurücklegen )
Mit Zurück wäre es ( 3/8 * 3/8 * 5/8 ) * 3 = 135/512
Die weiße Kugel ziehst Du (als Erstes) mit einer Wahrscheinlichkeit von 5/8, die blaue mit 3/7 und dann mit 2/6.
Bei anderen Reihenfolgen ist das zwar anders, aber im Nenner steht immer 8,7 und 6 in dieser Reihenfolge, weil das die insgesamt übrigen Kugeln sind.
Im Zähler steht immer 3 und 2 für Blau, 5 für weiß, egal in welcher Reihenfolge, weil das die übrigen Kugeln der entsprechenden Farbe sind.
Da alles miteinander multipliziert wird, ist egal, welcher Zähler zu welchem Nenner gehört.
(3*2*5)/(8*7*6)
Da es 3 Möglichkeiten bei der Reihenfolge gibt, musst Du mit 3 multiplizieren.
Kannst du mir sagen wofür die 2/7 in diesem Fall steht?