Mathe, Zahlenmengen?
Könnte mir bitte jemand erklären warum das dritte richtig ist und das erste falsch?
3 Antworten
Natürliche Zahlen sind Zahlen wie 0, 1, 2, 3, 4 und so weiter. Ganze Zahlen sind diese Zahlen und noch alle negativen Zahlen davon, also 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3 und so weiter. Rationale Zahlen sind die Zahlen, die du rausbekommst, wenn du zwei ganze Zahlen durcheinander teilst. Die Quadratwurzel von den meisten natürlichen Zahlen ist irrational, das heißt, sie entsteht nicht durch das Teilen zweier ganzer Zahlen. Die einzigen natürlichen Zahlen, deren Quadratwurzel nicht irrational ist, heißen Quadratzahlen, das sind Zahlen wie 1, 4, 9, 16, 25, 36..., also die Zahlen, die du rausbekommst, wenn du eine beliebige Zahl mit sich selbst multiplizierst (das wird auch Quadrieren genannt). Du kannst leicht ausprobieren, dass 5 keine Quadratzahl ist, denn 2² ist 4 und 3² ist 9, die 5 liegt aber genau dazwischen und wird also von keiner natürlichen Zahl "getroffen". Bei Zahlen wie 0,01 musst du etwas mehr machen. Die Wurzel einer irrationalen Zahl ist immer irrational; da pi beispielsweise irrational ist, ist die Wurzel von pi auch irrational. Steht unter der Wurzel eine positive rationale Zahl, heißt das, dass du diese rationale Zahl durch Division zweier natürlicher Zahlen entsteht. Sind BEIDE dieser natürlichen Zahlen Quadratzahlen, so ist die Wurzel deiner Zahl auch rational, ansonsten ist sie irrational. 0,01 lässt sich beispielsweise als 1/100 darstellen. Sowohl 1 als auch 100 sind aber Quadratzahlen, denn 1² = 1 und 10² = 100. Also ist die Wurzel aus 0,01 auch rational (die kannst du dann berechnen, indem du aus 1 und aus 100 die Wurzel ziehst und wieder beide Zahlen durcheinander teilst, die Wurzel aus 1/100 wäre also 1/10, das ist 0,1).
Es hat schon mehr als eine Redefinition gegeben. Eine Tüte kann keine negative Anzahl an Äpfeln enthalten, wohl aber 0 Äpfel. Und auch sonst gibt es manche Gründe, die das Einbeziehen der 0 zu einer Vereifachung machen.
Übrigens ist es gar nicht so lange her, dass man die 1 als Zahl anerkannt hat.
Ist auch relativ egal, in diesem Fall ist es besser, die 0 einfach als natürliche Zahl zu betrachten (das ergibt aus algebraischer Sicht auch mehr Sinn).
Zunächst einmal zum Verständnis:
Rationale Zahlen sind jene Zahlen, die man als Brüche mit ganzzahligen Zahlen ausdrücken kann.
Dazu gehört z.B. 3/4
Die Wurzel aus 5 kann man nicht als Buch mit ganzen Zahlen ausdrücken. Diese Zahl ist folglich irrational.
Die Wurzel aus 0,01 ist 0,1 und 0,1 lässt sich als Bruch mit ganzen Zahlen darstellen. Nämlich als z.B. 1/10 , wobei 1 und 10 ganze Zahlen sind. Damit ist diese Zahl eine rationale Zahl.
Weil die dritte 0,1 = 1/10 ergibt, während die
Wurzel aus 5 irrational ist.
"Natürliche Zahlen sind Zahlen wie 0, 1, 2, 3, 4 und so weiter."
Stop! Ich bleibe auf der Seite von demjenigen, der die Natürlichen Zahlen definierte. Und gemäß ihm ist die 0 keine Natürliche Zahl.