Mathe Wurzeln und Brüche?

Ich verstehe nicht wie man das rechnen soll. Man soll die beiden Funktionen soweit wie möglich zusammenfassen. Kann mir jemand beide Aufgaben netterweise erklären

Answer 1

[mihisu]

Hinweis: Erweitere die Brüche so, dass du keine Wurzel mehr im Nenner stehen hast.

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Hinweis zur oberen Aufgabe: Denke an die dritte binomische Formel.

Wenn du eine Summe oder Differenz von Wurzeln im Nenner stehen hast, bietet es sich oftmals an, entsprechend der dritten binomischen Formel zu erweitern. Allgemein aufgeschrieben so in der Art...

$\frac{a}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}=\frac{a\cdot \left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}{\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\cdot \left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}=\frac{a\cdot \left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}{\sqrt{b}^2-\sqrt{c}^2}=\frac{a\cdot \left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}{b-c}$

$\frac{a}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{a\cdot \left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)}{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\cdot \left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)}=\frac{a\cdot \left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)}{\sqrt{b}^2-\sqrt{c}^2}=\frac{a\cdot \left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)}{b-c}$

Da heben sich dann bei √(b)² und √(c)² jeweils Quadratwurzel und Quadrat gegenseitig auf, sodass man nur noch die Differenz „ b - c “ ohne Wurzel im Nenner stehen hat.

====== Lösungsvorschlag zum Vergleich ======

Zur oberen Aufgabe:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-\sqrt{2}-\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=-\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\cdot \left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\cdot \left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}=-\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2}{\sqrt{2}^2-\sqrt{3}^2}$

$\quad =-\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2}{2-3}=-\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2}{-1}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2$

$\quad =\sqrt{2}^2-2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+\sqrt{3}^2=2-2\cdot \sqrt{2\cdot 3}+3=2+3-2\cdot \sqrt{6}$

$\quad =5-2\sqrt{6}$

Zur unteren Aufgabe:

$\frac{7}{3\sqrt{2}}-\frac{3}{2\sqrt{5}}=\frac{7\cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}-\frac{3\cdot \sqrt{5}}{2\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{7\cdot \sqrt{2}}{3\cdot \sqrt{2}^2}-\frac{3\cdot \sqrt{5}}{2\cdot \sqrt{5}^2}=\frac{7\cdot \sqrt{2}}{3\cdot 2}-\frac{3\cdot \sqrt{5}}{2\cdot 5}$

$\quad =\frac{7\sqrt{2}}{6}-\frac{3\sqrt{5}}{10}=\frac{7}{6}\sqrt{2}-\frac{3}{10}\sqrt{5}$

Answer 2

[gauss58]

Ein Beispiel:

(√2 - √3) / (-√2 - √3) =

Nenner ausklammern:

(√2 - √3) / -(√2 + √3) =

Bruch erweitern:

(√2 - √3) * (√2 - √3) / -((√2 + √3) * (√2 - √3)) =

Klammern auflösen:

(2 - 2 * √(2 * 3) + 3) / -(2 - 3) =

Zusammenfassen:

5 - 2 * √6

Answer 3

[evtldocha]

Brüche erweitern und binomische Formeln sind gefordert:

$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-\sqrt{2}-\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=-\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)\cdot\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\cdot\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}=$ $-\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2}{\left(\sqrt{2}\right)^2-\left(\sqrt{3}\right)^2}=-\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2}{-1}\ =\sqrt{2}^2-2\cdot\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{3}^2=$

$2+3-2\cdot\sqrt{2\cdot3}=5-2\sqrt{6}$