Mathe Polynomfunktion Fläche?
Kann mir wer bei der Nr. 18 a helfen?
3 Antworten
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Du hast schon mal drei eindeutige Punkte gegeben. Die beiden Schnittpunkte mit den Achsen und den Sattelpunkt.
Daraus musst du ein Polynom 3. Grades bauen. Das schaut ja irgendwie so aus:
f(x) = a + bx + cx² + dx³ = y
Also musst du die 4 Parameter a,b,c,d finden.
Problem: 3 Punkte, 4 Parameter/Variablen. Das reicht nicht.
Aber bei x=2 ist ja nicht nur y=3, sondern auch ein Sattelpunkt.
Das bedeutet, dass f'(2) = 0 ist. Damit hast du eine vierte Formel, kannst also alles berechnen. Dafür musst du dann halt 1x f ableiten und 2 einsetzen.
Noch mal zur Erinnerung: Für den Punkt (2/3) wäre die Formel:
f(2) = a + b*2 + c* 4 + d * 8 = 3
Und dann halt auflösen.
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Also das ist jetzt zum Glück nicht DER Haken der Aufgabe ^^
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das ist der Ansatz
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
die vier benötigten Bedingungen.
f(0) = 6
f(2) = 3
f(4) = 0
f'(2) = 0
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
so einsetzen
3 = 8a + 4b + 2c + d
vier glg , vier unbekannte
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/11_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Ansatz:
f(x) = ax^3 + bx^2+ cx + d
Schnittpunkte mit den Achsen einsetzen:
f(0) = 6 = 0 + 0 + 0 + d
d = 6
f(4) = 0 = 64a + 16b + 4c + 6
Ableiten für den Sattelpunkt:
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
Sattelpunkt S(2/3) in f' und f'' einsetzen:
f'(2) = 0 = 12a + 4b + c
f''(2) = 0 = 12a + 2b
Wir haben also ein Glleichungssystem:
64a + 16b + 4c + 6 = 0
12a + 4b + c = 0
12a + 2b = 0
3 Gleichungen, 3 Unbekannte, das lässt sich lösen und es kommt raus:
a = -3/8
b = 9/4
c = -9/2
die Funktion lautet also:
f(x) = -3/8 x^3 + 9/4 x^2 - 9/2 x + 6
Zur Flächenberechnung müssen wir die Stammfunktion durch Integrieren ermitteln:
F(x) = -3/32 x^4 + 3/4 x^3 - 9/4 x^2 + 6x
Die Fläche A beträgt dann:
A = F(4) - F(0) = F(4) da F(0) = 0
F(4) = -24 + 48 -36 + 24 = 12
A = 12
![- (Mathematik, Polynomfunktion)](https://images.gutefrage.net/media/fragen-antworten/bilder/375102274/0_big.png?v=1605652757000)
kann man so machen . üblicher ist aber
ax³ + bx² + cx + d