Mathe hausaufgabe - orthogonale Vektoren?
Hey, ich brauch dringend mal Hilfe undzwar, wir haben drei Punkte gegeben (zb. A (2|2|0); B(1|4|2); C(3|2|5)) und müssen da jetzt ausrechnen ob das Dreieck rechtwinklig ist. Wie macht man das? Kann mir das jemand anhand dieses Beispiels mal vorrechnen und verständlich erklären?
4 Antworten
Wenn das Dreieck rechtwinklig wäre, müsste der Winkel zwischen zwei Vektoren = 90° sein:
Du stellt alle drei Differenzvektoren auf, also die Vektoren AB,BC und AC und überprüfst jeweils, ob zwei davon senkrecht aufeinander stehen.
Das heißt du brauchst mindestens eine, wenns blöd läuft drei Rechnungen.
Denn du musst überprüfen, ob AB und BC, AB und AC oder BC und AB senkrecht stehen.
Das machst du mit dem Skalarprodukt.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann Null, wenn beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Ich stelle nun zb die Vektoren AB und AC auf.
Es gilt AB = (-1,2,2) und AC =(1,0,5)
Nun berechne ich das Skalarprodukt beider Vektoren. Das Ergebnis ist -1+10=9, also ungleich Null. Somit stehen diese beiden Vektoren nicht senkrecht aufeinander.
Das gleiche machst du nun noch für die anderen beiden möglichen Kombinationen. Wenn bei einer Null rauskommt, dann hast du dort einen rechten Winkel, wenn nicht dann nicht.
Alternativ zu den anderen Antworten könnte man nach dem Aufstellen der Seitenvektoren deren Längen berechnen und prüfen, ob sie die Formel a²+b²=c² aus dem Satz des Pythagoras erfüllen. Tun sie das, dann ist das Dreieck rechtwinklig, andernfalls nicht.
Bilde die Vektoren <AB>, <BC> und <CA>. Die Richtungen sind eigentlich egal.
Bilde dann die drei Skalarprodukte. Wenn 0 herauskommt, sind die beiden Vektoren orthogonal. Mehr als zwei können ja nicht herauskommen.