Rechtwinklige Dreiecke : p und q berechnen
Hallo, Ich verstehe meine Mathe hausaufgaben gerade überhaupt nicht. Ich hab nur c und h (höhe) gegeben und soll daraus jetzt alle restlichen Seiten, inklusive der Teilstrecken p und q berechnen. Wie geht das?
6 Antworten
Es gibt eine Lösung und sie führt nicht über die Winkelsätze. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, kannst du über den Satz des Pythagoras gehen (wie viele hier schon gesagt haben).
a^2+b^2=c^2
Nach deinen Vorgaben haben wir hiervon nur c gegeben. Es verbleiben also zwei Unbekannte, von der wir eine eliminieren bzw. ersetzen müssen. Hierfür suchen wir nach einem weiteren Satz, der für rechtwinklige Dreiecke gilt und landen bei der Flächenberechnung.
A=a*b/2
a und b haben wir nicht, aber wir haben c und h, die Katheten der beiden Teildreiecke sind, die unser großes Gesamtdreieck aufspannen. Wir haben also zwei Teilflächen, die unsere gesamte ergibt:
A=A1+A2 wobei A1=p*h/2 und A2=q+h/2
Zwar sind uns p und q nicht bekannt, jedoch wissen wir, dass p+q=c Folglich erhalten wir für die Gesamtfläche:
A=c*h/2
Mit diesen beiden Formeln für die Gesamtfläche können wir versuchen, eine der Unbekannten zu eliminieren:
ab/2 = ch/2
ab = ch
b = ch/a
Wir haben also nun einen Weg gefunden, eine der Unbekannten zu ersetzen und machen das auch gleich bei unserem Satz des Pythagoras.
a^2 + b^2 = c^2
a^2 + (ch/a)^2 = c^2
Das riecht ja schon nach einer quadratischen Gleichung, auf die wir hin umbauen: (Sorry, das Textlayout lässt sich hier nicht besser darstellen: hinter der Pipe | stehen die Rechenschritte.)
a^2 + (ch)^2/a^2 = c^2 |*a^2
a^4 + (ch)^2 = c^2*a^2 |-c^2a^2
a^4 – c^2a^2 + c^2h^2 = 0 |a^2=z
z^2 + c^2z + c^2h^2 = 0
Jetzt können wir die erhaltene quadratische Gleichung mit der p-q-Lösungsformel lösen: https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Gleichung#L.C3.B6sungsformel_f.C3.BCr_die_Normalform_.28p-q-Formel.29
-c^2/2 +/- ((c^2/2)^2-c^2h^2)^(1/2)
Damit erhält man zwei verschiedene z-Werte, einmal für die Subtraktion des zweiten Terms vom ersten und ein weiterer Wert für die Addition beider Terme.
Nun darf ich den Kniff, a^2 durch z zu ersetzen, nicht vergessen rückgängig zu machen und schließlich auf zwei Werte für a zu kommen. Wir haben auf diesem Wege also nicht nur a, sondern auch gleich b erhalten.
a1=z1^(1/2)
a2=z2^(1/2)
Schließlich kannst du mit nun vier bekannten Größen des Dreiecks auch die Teilstrecken von c, also q und q errechnen.
:-)
Satz des Pythagoras.
Durch die Höhe hast du außerdem einen Rechten Winkel.
Wenn c die Basis ist:
(c/2)^2 + h^2 = a/b^2
(Wurzel)a/b = a/b
Und was für Teilstrecken sind p und q?
http://www.mathematische-basteleien.de/gdreieck.htm
Sehr gute Seite für deine Fragen
Hi,
Die Verknüpfung des Lehrsatzes des Pythagoras mit dem Höhensatz und dem Kathetensatz liefert einen Grenzfall für rechtwinklige Dreiecke, die die in der Aufgabe genannten Bedingungen erfüllen:
a = b = c / SQR (2)
p = q = c/2 = h(c)Für beliebige Hypothenusen (c) existieren gemäß dem Satz des Thales unendlich viele rechtwinklige Dreiecke, aber nur, wenn die Bedingung h(c) < c/2 erfüllt ist .
MfG
Fest steht, dass ein Dreieck nicht eindeutig bestimmt ist, wenn du nur die Seite c und die Höhe h auf c kennst.
Beweis: Alle Punkte einer Parallele zu c im Abstand h sind mögliche Punkte C eines Dreiecks, dass diesen beiden Bedingungen genügt.
Weißt du wirklich nichts anderes über das Dreieck? - Wenn das Dreieck rechtwinklig ist und γ der rechte Winkel (wie Len98 wohl vermutet, ohne dass das aus deinem Text hervorginge), findest du
- für 0 < h < c/2 mit dem Satz des Pythagoras zwei Lösungen, die durch Austausch von a und b auseinander hervorgehen, für
- h = c/2 ist a = b.
Mit Sinus, Cosinus und Tangens.... das sollst Du WAHRSCHEINLICH auch üben.... Winkelfunktionen :D