Mathe Extremalprobleme Hausaufgabe auf Note?

Hallo, ich bin in der 11. Klasse und habe zur Zeit in Mathe das Thema „Extremalprobleme“ und ich soll auf Note eine Aufgabe vorstellen, welche ich nicht Ganz verstehe.
die Aufgabe lautet:

In einer Fabrikhalle soll ein in zwei Kammern unterteilter Lüftungskanal eingebaut werden. Der Gesamtquerschnitt soll 3 m betragen.

Wie müssen die Maße x und y gewählt wer-den, wenn der Blechverbrauch minimiert werden soll?

Ich verstehe leider garnichts und würde mich sehr über etwas Hilfe freuen :))

Danke im Vorraus.

Answer 1

[evtldocha]

Wir wissen nichts über die Länge "L" des Lüftungskanals, die geht aber nur als konstanter Faktor in den Blechverbrauch ein. Der Blechverbrauch B ist dann: 1 mal Blech am Boden + 3 Seitenflächen (eine Decke aus Blech sehe ich in der Skizze nicht)

Also lautet die Zielfunktion "Blechverbrauch": $B_L\left(x,y\right)\ =\ x\cdot L\ +\ 3\cdot y\cdot L\ =L\cdot\left(x+3\cdot y\right)$

Die Nebenbedingung ist der Querschnitt des Lüftungskanals von 3 m². Oder als Gleichung: $x\cdot y=\ 3\ \to y=\frac{3}{x}$

Damit lautet die neue (nur noch von x abhängige) Zielfunktion: $B_L\left(x;y\right)=B_L\left(x\right)=L\cdot\left(x+3\cdot\frac{3}{x}\right)=L\cdot\left(x+\frac{9}{x}\right)$ $B'_L\left(x\right)=L\cdot\left(1-\frac{9}{x^2}\right)=0\ \Leftrightarrow\frac{9}{x^2}=1\ \Leftrightarrow x=3\ \left(\vee\ x\ =-3\right)$ (Die negative Lösung verwerfen wir, da eine Länge positiv sein muss)

Aus der Nebenbedingung folgt dann: $y=\frac{3}{x}=\frac{3}{3}=1$

Der Vollständigkeit halber noch die Prüfung, ob es sich bei x = 3 wirklich um ein Minimum des Blechverbrauchs handelt, ist noch 2. Ableitung >0 an der Stelle x = 3 zu zeigen. $B''\left(x\right)=L\cdot\left(-\left(-2\right)\cdot\frac{9}{x^3}\right)=L\cdot\frac{18}{x^3}\ \to B''\left(3\right)\ >0\$