Extremalprobleme: Lüftungskanal in einer Fabrikhalle?
Hallo!Ich habe bereits mehrmals versucht diese Aufgabe zu lösen, jedoch liegt meiner Fehler bzw. mein Problem darin, dass ich nach der Aufstellung der Haupt- und Nebenbedingungen nicht richtig weiter komme.
"In einer Fabrikhalle soll ein in zwei Kammern unterteilter Lüftungskanal eingebaut werden. Der Gesamtquerschnitt sol 3m² betragen. Wie müssen die Maße x und y gewählt werden, wenn der Blechverbrauch minimiert werden soll."
NB: x * y = 3HB: M(x,y)= 3x+2y
Auflösen nach y: y= 3/x
Einsetzen:M(y)= 2x + 3 * 3/x
???
Ich hoffe, dass ihr mir weiterhelfen könnt.Vielen Dank im Voraus.
1 Antwort
Der Gesamtquerschnitt ist A = 3 m² -> x * y = A. Da A fest vorgegeben ist, ist das eine Konstante.
Der Materialverbrauch (bzw. die summierte Länge der Bleche im Querschnitt) ist M = x+y. M ist zu minimieren.
Umformen:
y = A / x
Einsetzen:
M = x + A / x
Von M kannst du jetzt die erste Ableitung bilden und nach Extremstellen suchen, und dann mit der zweiten Ableitung sicherstellen, dass es sich um ein Minimum handelt.
Anschauliche Herleitung:
In der Realität zweckmäßig ist es oft, wie auch in deiner Skizze erkennbar, dass beide Kammern gleich groß sind. Interessant ist hier allerdings, dass das nicht ausdrücklich spezifiziert ist - so könnte das senkrechte Trennblech genausogut eine schmale, hohe Kammer von 1 cm Breite von der anderen Kammer mit dem Rest des Volumens trennen. Für das Gesamtvolumen macht das keinen Unterschied, denn erst beim Grenzübergang zu einer z.B. "linken" Kammer von 0 cm Breite und einer "rechten", "anderen" aber dadurch effektiv einzigen Kammer mit der vollen Breite würde das senkrechte Blech komplett eingespart, weil es sich sonst genau an der linken Wand befände und damit sowieso überflüssig wäre. Daher ist die genaue Position des Trennblechs aber für den Materialverbrauch unbedeutend.
Wenn wir jetzt mal vergessen, dass das senkrechte Blech auch entfallen könnte, wenn wir es ganz an den Rand schieben, haben wir zwei Seiten eines Rechtecks. Und welches Rechteck bei gegebener Gesamtlänge der Seiten den maximalen Flächeninhalt besitzt, habt ihr vermutlich schon einmal hergeleitet...