Mathe Aufgabe - Wasserhyazinthe?
Hey, Ich habe glaube Ich hab schon eine halbe Ewigkeit damit verbracht diese Aufgabe zu lösen, und bin mir immer noch nicht sicher: Ein See ist 1,77km^2 groß. Seine Oberfläche wächst immer weiter mit einer schnellwachsenden Wasserhyazinthe zu. Die von ihr bedeckte Fläche verdoppelt sich alle 12 Tage. Im Moment sind 1/8 des Sees bedeckt. a) Wann ist die Hälfte des Sees bedeckt? b) Wann wird der ganze See bedeckt sein? Drücke deine Rechnung mithilfe einer Potenz aus.
a) 0T --> 1/8 12T --> 1/4
24T --> 1/2 --> Hälfte 36T --> 1/1 b) Ich hab hier ganz viel rumprobiert, bin aber auf nichts gutes gestoßen bsp: 1/812^2 1/82^2 1/8+2^12 1/8+12^2 1/82^12 1/812^2 Ich hab keine Ahnung, wie man Aufgabe b als Potenz angeben kann. Ich würde mich über eine verständliche Antwort freuen! LG Oskar
3 Antworten
1/8 * 2^(t/12)
Grundformel in einer der zahlreichen Varianten:
y = c aⁿ y = Endwert c = Anfangswert a = Wachstumsfaktor (hier 2)
n = Anzahl der Perioden (1 Einheit = 12 Tage)
Dann ist zunächst 1,77/8 km² ein Achtel des Sees
1,77/2 km² die Hälfte des Sees
Eingesetzt in die obige Formel: 1,77/2 = 1,77/8 * 2ⁿ
2ⁿ = (1,77/2) / (1,77/8)
2ⁿ = 4
Das braucht man noch nicht einmal zu logarithmieren, um zu erkennen, dass
n = 2 ist.
n = 2 bedeutet nach 24 Tagen wegen der Periodenlänge von 12 Tagen vom jetzigen Zeitpunkt aus (1/8 bedeckt).
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Wie lange jetzt, bis der See völlig bedeckt ist. Dafür brauchen wir nur den Endwert auf 1,77 zu bringen: 1,77 = 1,77/8 * 2ⁿ
2ⁿ = 1,77 / (1,77/8) 2ⁿ = 8
n = 3 auch leicht zu erkennen
Überraschend einfach: 36 Tage vom jetzigen Zeitpunkt aus (1/8 bedeckt).
An sich ist das glaube ich eine exponentielle Zunahme sprich wir halten dafür fest: f(t) = a*b^t (t hier in Tagen)
1,77km² = 1770000m²
Der Anfangsbestand ist f(0) = 1/8 * 1770000 = 221250
Nach 12 Tagen: f(12) = 1/4 * 1770000 = 442500
a entspricht dem Anfangsbestand also können wir als Gleichung schon einmal festhalten: f(t) = 221250 *b^t
dann müssen wir die anderen Werte einsetzten: 442500 = 221250 *b^12
--> b = 1,0595 (gerundet)
das liefert als die allgemeine Formel: f(t) = 221250 * 1,0595^t (man könnte diese Gleichung auch noch mit der Basis "e" umschreiben, aber man muss es ya nicht noch komplizierter machen)
diese Formel kannst du jetzt für Aufgabenteil a und b verwenden, hoffe du weißt wie ;) und ich hoffe ihr hattet das Thema schon so, dass du das jetzt nachvollziehen kannst
habt ihr einen GTR? dann gebe die rechte und die linke Seite in den GTR ein und bestimme den Schnittpunkt der beiden Schaubilder
das b bekommst du, indem du die Gleichung umformst:
442500 = 221250 *b^12 --> durch 221250 teilen: 442500/221250 = 2
und dann kannst du mit dem GTR (soweit du einen hast) 2 mit b^12 schneiden :)
Hey danke für die Antwort!
Tatsächlich haben wir gerade erst mit dem Thema angefangen :D
Leider weiß ich nicht wie ich jetzt die funktion benutzen kann, zumindest hab ich keinen Plan wie ich das ^t rausfinden kann.
Außerdem frage Ich mich woher die 1,0595 fürs b herkommt?
LG