Mathe aufeinander folgende zahlen 1024?
warum ist es nicht möglich die Zahl 1024 als Summe von mindestens 2 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen größer als 0 zu schreiben?
3 Antworten
Die wichtige Idee dabei ist, dass alle Teiler von 1024 gerade sein müssen.
Angenommen, es gibt mindestens zwei aufeinanderfolgende Zahlen, die als Summe 1024 ergeben, und die sollen bei k_1 beginnen und bis k_j laufen, also
k_1 + k_2 + ... k_j = 1024
Dann kann ich das so schreiben:
1024 = k_1 + k_2 + ... + k_j = 1+2+ ... +k_1+ ... + k_j - (1 + 2 +... + (k_1-1))
d. h. um die Summe von k_1 bis k_j zu bekommen, berechne ich die Summe von 1 bis k_j und ziehe die Summe von 1 bis k_1 wieder ab.
Für solche Summen 1 bis irgendwas habe ich aber eine Formel, es ist
1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.
Das setze ich ein:
1024 = k_j (k_j+1) - (k_1-1)(k_1)
und multipliziere aus, stelle um, benutze die dritte binomische Formel und erhalte:
1024 = k_j^2 - k_1^2 + k_j + k_1 = (k_j + k_1)(k_j -k_1 +1)
Nach der Vorbemerkung müssen beide Faktoren gerade sein. Der erste ist genau dann gerade, wenn kj und k1 beide gerade oder beide ungerade sind - dann ist aber der zweite ungerade.
Es kann also solche Zahlen nicht geben.
Hallo,
weil auf jede ungerade Zahl eine gerade und auf jede gerade Zahl eine ungerade Zahl folgt.
Von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist daher immer eine gerade und eine ungerade.
Eine gerade Zahl kann als 2k mit k Element N ausgedrückt werden, eine ungerade Zahl mit 2k-1.
Die Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl (oder umgekehrt) ergibt also allgemein 2k+2k-1=4k-1.
Da dieser Term nicht ohne Rest durch 2 teilbar ist, handelt es sich um eine ungerade Zahl. 1024 ist aber eine gerade Zahl und die kann wie gezeigt niemals Summe einer geraden und einer ungeraden Zahl sein.
Herzliche Grüße,
Willy
Zu ergänzen ist noch der Term 4k+1, der aus der Summe gerade Zahl plus ungerade nachfolgende Zahl entsteht.
Ungerade plus nachfolgende gerade Zahl gleich 2k-1+2k ergibt 4k-1.
Zusammen ergeben diese beiden Terme durch Einsetzen von k Element N alle ungeraden Zahlen, aber keine einzige gerade Zahl.
zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind jeweils eine gerade und eine ungerade Zahl , die Summe kann also keine gerade Zahl sein
das sind 4 Zahlen. da gleichen sich durch Addition die 2 ungeraden zu einer geraden Zahl aus.
Ja aber es geht ja um mindestens 2
z.b 18+19+20+21+22 sind ja auch 100 was gerade ist