Wieso ist es nicht möglich die Zahl 1024 als Summe von mind. zwei aufeinanderfolgenden natürl. Zahlen zu schreiben?
Ich meine von mindestens zwei aufeinanderfolgenden zahlen. Eskönnen also auch mehr sein
7 Antworten
Die Summe von mindestens zwei aufeinanderfolgenden Zahlen kann keine Zweierpotenz sein.
Aufeinanderfolgende natürliche Zahlen von a bis b haben die Summe
S = 1/2 * (a + b) * (b + 1 - a)
Wenn S eine Zweierpotenz wäre, dann wäre auch S * 2 Zweierpotenz.
Also müsste (a + b) * (b + 1 - a) Zweierpotenz sein.
Da die Primfaktorzerlegung einer Zweierpotenz nur aus Zweien besteht, müssen die Faktoren (a + b) und (b + 1 - a) ebenfalls Zweierpotenzen sein.
Aber einer dieser Faktoren ist ungerade, also kann S keine Zweierpotenz sein.
Nicht schlecht. Man braucht also
- Eine abgewandelte Gauß'sche Summenformel
- Primfaktorzerlegung
- Eigenschaften der Zweierpotenz
- Fallunterscheidung für a und b
Wäre ich nicht drauf gekommen, ist aber eigentlich recht einfach.
weil es ne gerade Zahl ist.
aufeinanderfolgende Zahlen sind immer Zahl und Zahl +1
bei geraden Zahlen besteht die Eigenschaft 2 mal Zahl.
Aus aufeinanderfolgenden Zahlen ginge...
1+2
2+3
...
es käme immer eine ungerade Zahl raus, da hier das Muster gerade Zahl plus ungerade Zahl ist, also 2*Zahl plus 2*Zahl +1...
Doch relevant, denn z.B. 2k + 2k + 1 + 2k + 2 + 2k + 3 ist ungerade. Also jede Summe einer Fünferfolge, die mit einer geraden Zahl beginnt, ist wieder gerade. Das gilt sogar für jede (4n + 1)te Folge. Mit n > 0.
von der Sache her könnte man so rangehen
1024 = a + a+1 + a+2
man hätte dann
1024 = 3a +3
1021/3 = a funktioniert aber nicht 😐
1024 = a +a+1 +a+2+ a+3
1018/4 = a Kommazahl...
a a a a a 1 2 3 4 ...5a+10...1014/5...Kommazahl
511,5 ist keine natürliche Zahl!
Ganz einfach: bei zwei nacheinander folgenden zahlen ist eine gerade und eine ungerade. Die Summe aus einer geraden und einer ungeraden Zahl ist immer ungerade. Kann man sogar beweisen.
Es könnten auch mehr als zwei aufeinanderfolgende Zahlen sein.
(OK, Kommentar ist jetzt überflüssig)
Das gilt so für jede gerade Zahl, nicht nur für diese.
Ah, hm, ok, ich habe es nur auf zwei Zahlen bezogen, aber in der Frage sind ja auch mehr als zwei Zahlen möglich. Da muss ich nun passen, da bin ich zu faul für irgendeinen Beweis.
Man kann sich ja auch überlegen, dass bei zwei Zahlen jeder Dödel sofort sieht, warum es nicht geht.
Sorry wenn ich was nicht ganz verständlich formuliert hab
Ah, hm, ok, ich habe es nur auf zwei Zahlen bezogen, aber in der Frage sind ja auch mehr als zwei Zahlen möglich. Aus Neugierde: Welche sind es denn für die 100?
Du hast das "mindestens" überlesen.