Ln(x) ohne Taschenrechner berechnen?
Kann man ln(x) ohne Taschenrechner berechnen? Meine Idee war es ln(x) in etwas mit e umzuschreiben aber wie genau geht das?
2 Antworten
ln(x) = y
<=>
e^y = x
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e ~ 2,718
e^4 => 2,718 * 2,718 * 2,718 * 2,718
Daher könnte man zum Beispiel so rechnen
So lange x durch 2,718 teilen, bis du bei <= 1 bist. Bist du relativ genau bei 1 hast du dein Ergebnis gefunden, bist du drunter, gehst du zur letzten Zahl zurück und musst von da aus dann weiterrechnen.
ln(25) =>
25 / 2,718 ~ 9,2
9,2 / 2,718 ~ 3,39
3,39 / 2,718 ~ 1,25
1,25 / 2,718 wäre kleiner 1, daher weiß ich, dass es irgendwas zwischen 3 und 4 sein wird (näher an der 3, also < 3,5).
Aber jetzt wird es kompliziert, denn nun müsstest du für die Nachkommastellen quasi folgende Gleichung aufstellen:
e^x = 1,25
Und wie würdest du das ermitteln?
ln(1,25)/ln(e) = ln(1,25) / 1 = ln(1,25)
Daher bleibt dir nichts anderes übrig als ne Menge Wurzeln zu ziehen, bis du bei ~1,25 angelangt bist. In unserem Fall:
Wurzel(2,718) ~ Wurzel(11/4) = Wurzel(11)/2 ~ 3,3/2 ~ 1,65
Wurzel(1,65) = Wurzel(165)/10 = 12 < Wurzel(165) < 13 ~ 1,3
In unserem Fall wären wir damit also schon recht nah dran, wobei das eben nur so ungefähr berechnet ist. Allerdings dürfte ln(25) mit unserer groben Berechnung bei ungefähr 3,2 liegen.
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Aber so der easy peasy "Ich löse damit jede Aufgabe in 30 Sekunden" Trick ist mir nicht bekannt. Allerdings habe ich auch kein Mathe studiert sondern WI, eventuell kann dir also jemand anderes noch ein paar Abkürzungen an die Hand geben.
Es gibt eine unendliche Reihe mit der man das berechnen kann. Wenn z deine Zahl ist, dann setze zuerst, falls 0 < z ≤ 2:
x = z - 1
und dann berechne den natürlichen Logarithmus als:
ln(z) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 - ...
In dem Fall, dass z > 2 gilt, kann man sich zu Nutze machen, dass ln(z) = -ln(1/z) gilt. Man nimmt also zuerst den Kehrwert von z, fährt wie gehabt fort und negiert das Ergebnis einmal.
Ist wahrscheinlich nicht sehr effizient die Methode, aber zumindest kann man dadurch den ln beliebig gut annähern, solange man immer mehr Summanden dazu nimmt.