Logarithmus in Gleichung, wie im Kopf lösen?
Folgendes Beispiel hat sich unter meine Logarithmus-Übungen geschlichen, wo ich hänge:
Laut Lösung ist e) korrekt.
Nur warum ist U gleich 0 und wieso ist A gleich B?
Wäre der "ln" dort nicht, würd ich ja rumprobieren, mit 1..2 etc. einsetzen, aber mit ln habe ich null ansatz. bitte helft mir :/
4 Antworten
Nur warum ist U gleich 0 und wieso ist A gleich B?
U = a/b * ln(A/B), b < 0 < a
Ist A = B, dann wird ist der Qoutient A/B nichts anderes als A/A bzw. B/B, was beides 1 ergibt also gilt:
U = a/b * ln(A/B) = a/b * ln(1), b < 0 < a
Der ln von 1 ist 0, also:
U = a/b * ln(A/B) = a/b * ln(1) = a/b * 0, b < 0 < a
Und da jede komplexe/reelle Zahl mal 0 o ergibt folgt:
U = a/b * ln(A/B) = a/b * ln(1) = a/b * 0 = 0, b < 0 < a
-> U = 0
Wir können es auch per Ausschlussverfahren herrusfinden.
Es gibt nur wahr oder falsch. Ist eine Antwort nicht falsch, so muss sie stimmen.
a) Wenn das gilt wird der ln aus einer negativen Zahl gezogen. Das ergebnis ist eine komplexe Zahl mit Imaginärteil ungleich 0. olche komplexen Zahlen lassen sich nicht nach Größe ordnen. Denefinieren wir U als Element der reellen Zahlen ist U nicht definiert, da kein reelles Ergebnis existiert.
-> a) muss falsch sein
b) Wenn das gilt wird der ln aus einer positiven Zahl gezogen, also ist das ergebnis reell und somit Vergleichbar in der Größe. Da a und b ungleich 0 sind muss der ln aus A/B ergeben. Das tut er nur wenn der Qoutient A/B 1 ergibt. Das tut er aber nur wenn A und B gleich sind (wie in der obrigen Gleichung gezeigt). A und B sind jedoch ungleich, nämlich ist A größer als B, demnach ist der ln aus den Qoutienten A/B ungleich 0, nämlich positiv.
-> b) muss falsch sein
c) Wenn das gilt wird eine Zahl durch 0 geteilt und die Division durch 0 ist nicht definiert.
-> c) muss falsch sein
d) Wenn das gilt ergibt der Qoutiont 0, denn 0 durch jede reelle Zahl außer 0 ergibt 0 und, woraus folgt das der ln aus 0 gezogen werden muss und der ln aus 0 ist nicht definiert.
-> d) muss falsch sein
e) Joa. Bleibt halt übrig. Wie schon oben gezeigt stimmt e). Das Ausschlussverfahren bestätigt das.
-> e) muss richtig sein
Logarithmus in Gleichung, wie im Kopf lösen?
Wir können auch nach den Qoutenten umstellen um herrauszufinden was das Ergebnis ist. Geht auch im Kopf:
U = a/b * ln(A/B), b < 0 < a |*(b/a)
U * b/a = ln(A/B), b < 0 < a |exp
e^{U * b/a} = A/B, b < 0 < a
Sagen wir dass U 0 ist folg:
e^{0 * b/a} = A/B, b < 0 < a
e^{0} = A/B
1 = A/B
-> A/B ist 1
--> Ein Qoutient ergibt nur 1, wenn Nenner (hier A) und der Zähler (hier B) gleich sind, also A = B.
---> Das gilt nur bei e), also it e) korrekt.
a)c)d) kannst du ausschließen, weil ln nur für >0 definiert ist.
A=B dann A/B = 1
ln(1) = 0
A / B = 1
ln(1) = 0
Wenn A = B ist A/B = 1 und ln (A/B) = 0, damit U = 0.