Lösungsweg zu Anwendungsaufgaben von y=a(x-c)^2+d
Erstmal eins vorweg, liebes GF-Team: DAS ist KEINE Hausaufgaben frage! Ich habe die LÖSUNGEN schon von der LEHRERIN - Ich möchte es nur VERSTEHEN. Dementsprechend löscht meine Frage dieses mal BITTE nicht! :)
Ich schreibe morgen eine Mathearbeit (Realschule, Klasse 10) und da ich 1 stehe und alles verstanden habe, was wir bis jetzt gemacht haben, dachte ich, es reicht, wenn ich JETZT nochmal alles durchgehe... Das war ein Irrtum. Lernzielkontrollen alle gemeistert (die zum üben zu Verfügung standen) und dann bin ich zu den "Anwendungsaufgaben" übergesprungen. Doch jetzt versehe ich (und KEINER aus meiner klasse) das nicht, da wir solche Aufgaben NIE behandelt haben. Bevor ich morgen in der Arbeit dann dumm dastehe, wollte ich mal fragen, wie man das Löst.
Eine solche Aufgabe lautet wie folgt:
"Beim Stoßen einer Kugel beschreibt die Flugbahn eine Parabel.
a) Die Kugel wurde im punkt (0/3) abgeworfen (eine Einheit = 1m). Im Punkt S(5/4) hat sie ihren höchsten Punkt erreicht. Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel.
b) Wie weit ist die Kugel geflogen?"
Zu a) habe ich bereits herausgefunden, dass es "y=-a(x-4)^2+5" ist. Auf dem Lösungsblatt steht, dass es y=0,04(a-4)^2+5 ist. Doch wie komme ich dann auf a?
b) ist dann kein Problem mehr... dass kann ich dann :)
6 Antworten
Allgemeine Scheitelpunktform
y = a ( x - c ) ² + d
ansetzen und die Koordinaten des Scheitelpunktes S ( c | d ) = ( 5 | 4 ) einsetzen:
y = a ( x - 5 ) ² + 4
Zur Bestimmung von a nun noch den anderen bekannten Punkt P ( x | y ) = ( 0 | 3 ) der Parabel einsetzen:
3 = a ( 0 - 5 ) ² + 4
ausmultiplizieren:
<=> 3 = 25 a + 4
und nach a auflösen:
<=> a = - 1 / 25 = - 0,04
Nun den Wert von a und die Koordinaten des Scheitelpunktes in die allgemeine Scheitelpunktform einsetzen:
y = - 0,04 ( x - 5 ) ² + 4
Noch mal ne andere Frage:
Lege die Brücke so in das Koordinatensystem, dass ihr Scheitelpunkt (also die Stelle mit der Höhe 75 m) auf der y-Achse, also über dem Koordinatenursprung liegt. Der Scheitelpunkt hat dann die Koordinaten S ( xs | ys ) = ( 0 | 75 ). Diese Koordinaten setzt man in die allgemeine Scheitelpunktform
f ( x ) = a * ( x - xs ) ² + ys
ein und erhält:
f ( x ) = a * ( x - 0 ) ² + 75 = a * x ² + 75
Zur Bestimmung des Streckfaktors a benötigt man nun noch einen weiteren Punkt auf der Brückenparabel. Diesen kann man mit Hilfe der Spannweite der Brücke bestimmen. Wenn nämlich der Scheitelpunkt S die x-Koordinate 0 hat, dann erstreckt sich die Brücke von dort aus in beide Richtungen auf 180 / 2 = 90 m. Daher muss der Punkt P ( 90 | 0 ) auf der Brückenparabel liegen (an der Stelle x = 90 hat die Brücke die Höhe f ( x ) = 0 ).
Setzt man dies in die fett gesetzte Funktionsgleichung ein, erhält man:
0 = a * 90 ² + 75
und daraus durch Auflösen nach a:
a = - 75 / 8100
sodass also die Funktionsgleichung der Brückenparabel
f ( x ) = ( - 75 / 8100 ) x ² + 75
lautet.
du hast die Gleichung der Parabel unter Einbeziehung der Angabe des Maximums bei Punkt S schon richtig heraus gefunden. Das in der Gleichung angegebene a kennst du noch nicht. Setze jetzt den Punkt (x=0, y=3) in deine gefundene Gleichung ein. Dann kannst Du a ausrechnen. Übrigens: Stand auf dem Lösungsblatt nicht y=0,04(x-4)^2+5?
du hast die Gleichung der Parabel unter Einbeziehung der Angabe des Maximums bei Punkt S schon richtig heraus gefunden
Leider nein, denn die Koordinaten des Scheitelpunktes sind verkehrt in die Scheitelpunktform eingesetzt worden. Richtig ist:
y = -0,04 ( x - 5 ) ² + 4
oh... sorry... ja, stand es. War ein Tippfehler. Ich schlafe schon fast vor dem Rechner und wollte das nur noch mal wissen... Da kommt man mit den vielen Variablen schon mal durcheinander :D
c ist der x-Wert, d der y-Wert des Scheitelpunkts, also ist y=a(x-5)^2+4 richtig. Durch Einsetzen des Punktsw (0;3) erhält man a=-1/25, in der Lösung müsste x statt a stehen.
(0/3) in Scheitelform einsetzen;aber da stimmt was nicht mit S und Scheitelform