Lösungsmenge Gleichung komplexe Zahlen?

Hey, ich habe ein Problem bei einer Teilaufgabe über komplexe Zahlen. Wir behandeln das Thema noch nicht so lange, weswegen es mir noch ein bisschen schwer fällt. Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte :)

Answer 1

[CKH1981]

Mir half es immer nach DeMoivre's n-te Wurzel vorzugehen, zumal seine Formel sich anschaulich erklären lässt. Mag aber Geschmackssache sein.

Exponentielles Kurzschreiben kannst Du hinterher auch noch wählen. Siehe Eulersche Identität.

DeMoivre und Euler findest Du beide auf dieser Seite:

https://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%27s_formula?wprov=sfla1

Hilft Dir das?

Woher ich das weiß: eigene Erfahrung

Answer 2

[Willibergi]

Mit

$(z+1)^6 = 1$

sind die Lösungen für z + 1 genau die 6-ten Einheitswurzeln. Damit ist:

$\mathbb L = \left\{ \exp\left( \dfrac{2 \pi \mathrm i k}{6} \right) - 1 \mid k \in \{0, \ldots, 5 \}\right\}$

Comments

[Turborakete0411]

Danke :) Das -1 hinter dem e kommt von dem +1 in der Klammer oder wie kamst du darauf?

[Willibergi]

@Turborakete0411

Genau ;-)

Answer 3

[JuIi69]

Da der Betrag von (z+1)=1 sein muss, kommt nur die 0 als Lösung der Gleichung infrage.

Comments

[Turborakete0411]

Es geht ja aber um komplexe Zahlen, sprich es müssten mehr Lösungen rauskommen.

[JuIi69]

@Turborakete0411

Das habe ich beachtet. Die 0 ist in diesem Fall 6 fache Lösung der Gleichung. Indem man bei der Ausgangsgleichung 1 auf beiden Seiten addiert kommt man zu (z+1)^6=1. Wenn man für z irgendeine komplexe Zahl ungleich 0 einsetzt, ist auch der Betrag in der Klammer ungleich 1, folglich ist auch der Betrag von (z+1)^6 ungleich 1, somit ist die Gleichung nicht gelöst.

lg

[lan31]

@JuIi69

das ist allein schon deswegen falsch weil z=-2 sein kann als reelle lösung, außerdem kommen noch 4 komplexe dazu

[JuIi69]

@lan31

oh ups Du hast natürlich recht. Da hatte ich kurz gepennt... Die Lösungen liegen auf einem Kreis mit Radius 1 um -1 auf der reellen Achse. Genauer die Lösungen sind: 0; 2; e^(i*pi/3) -1; e^(i*2pi/3) -1; e^(i*4pi/3) -1 und e^(i*5pi/3) -1

[lan31]

@JuIi69

-2, aber ansonsten wunderschön

wie juli schon schreibt, du 6-telst dir deinen 2pi kreis mit radius 1 (einheitskreis) und jeder der 6 schritte ist eine lösung zur 6. wurzel von z+1, also substrahierst du von jeder einfach noch 1

[grtgrt]

FALSCH: Auch x = –2 ist eine Lösung.

[Willibergi]

Nein.

[JuIi69]

@Willibergi

ja ich hatte kurz gepennt. mittlerweile sollte ich die korrekte Lösung geschrieben haben.