Lösen von Polynom und Signumfunktion?

Hey Ho :)

Habe mal wieder eine Frage zu einer Aufgabe aus meinem Mathestudium? Jedoch diesmal mit wenig Ansatz:3

Die Aufgabe lautet:

Sei p ein Polynom der Form

$p\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n-1}a_kx^k$

Beweisen Sie, dass dann gilt:

$\lim\ x->∞\ p\left(x\right)=+∞$

und

$\lim\ x->-∞\ =∞,\ falls\ n\ gerade\ ist\ oder\ -∞,\ falls\ n\ ungerade\ ist$

Zeigen Sie dafür zunächst, dass der folgende Hilfssatz gilt:

Sei (x_n )_(n∈N) eine Folge in den reellen Zahlen mit

$\lim n→∞\ xn=+∞$

und (yn)n∈N eine Folge in R mit

$\lim\ n->∞\ y_n=c\ aus\ den\ reellen\ Zahlen\ ohne\ 0$

Dann gilt: $\lim\ n->\ ∞\ \left(x_n\cdot y_n\right)=sign\left(c\right)\cdot∞$

Ich weiß leider nicht, wie ich den Hilfssatz beweisen soll, geschweige denn, wie ich weiter vorgehen würde, wenn ich ihn bewiesen hätte. Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass Sign(x)= 1(für x>1) oder 0 (für x=0) oder -1 (für x<0) ist.

Beim Beweis vom Hilfssatz würde ich die Definition von der Konvergenz einer Folge und vielleicht ein Epsilon Kriterium benutzen.

Generell verstehe ich den Kontext der Aufgabe nicht, da wir eigentlich gerade bei Stetigkeit sind in unserer Analysisvorlesung.

Über Tipps/Hilfe freue ich mich:)

Beste Grüße ✌️

Answer 1

[FataMorgana2010]

Fehlen da nicht noch ein paar Angaben für n und die Koeffizienten a_k?

Wenn $a_{n-1} < 0$ gilt, dann geht das für x -> ∞ sicher nicht gegen ∞.

Und wenn n = 1 ist, dann haben wir eine konstante Funktion, die auch nirgendwohin geht.

Comments

[MatheStudentRUB]

Leider gibt es keine weiteren Informationen auf dem Blatt:/

[ralphdieter]

Bei uns gind das früher so:

O.B.d.A. sei n>1 und aₙ₋₁>0

-- Ohne Beachtung der Aufgabenstellung :-)