Linearer Unterraum prüfen?

Sei V = Abb(R;R) der R-Vektorraum aller Funktionen von R nach R. Überprüfen

Sie, ob die folgenden Teilmengen lineare Unterräume sind und begründen Sie Ihre

Antwort. (Jedes R ist hier als Menge der reellen Zahlen gemeint)

(a) Seien a; b ∈ R und U1 = {f ∈ V : f(a) = f(b)}

(b) Seien a; b ∈ R und U2 = {f ∈ V : f(a) = f(b) = 1 }

(c) U3 = {f ∈ V : f ist injektiv}

(d) U4 = {f ∈ V : f ist surjektiv}

Ich kenne die Kriterien von Linearen Unterräumen, aber ich verstehe einfach nicht, wie ich sie bei solchen "allgemeinen" Aussagen prüfen und beweisen soll :(

Answer 1

[MagicalGrill]

Kriterien für lineare Unterräume:

• U ≠ ∅,
• Für je zwei Vektoren u,v ∈ U gilt u+v ∈ U,
• Für jedes r ∈ R und jedes u ∈ U gilt ru ∈ U.

Im Prinzip kannst du das ganze mechanisch abarbeiten. Z.B. bei der (a):

• Finde ich überhaupt ein Element in U1? Falls ja, ist U1 ≠ ∅ und mein erstes Kriterium ist erfüllt. Ansonsten muss ich halt beweisen, dass es keines gibt. Dann ist U1 = ∅ und ich brauch mich um den Rest gar nicht mehr zu kümmern.

Pro-Tipp: Ich würde immer erst mal versuchen zu überprüfen, ob der Nullvektor ein Element des vermeintlichen Unterraums ist. Wenn ja, ist die Menge offenbar nicht leer. Ansonsten kann es kein Unterraum sein, weil jeder Unterraum automatisch den Nullvektor enthält.

• Wenn ich zwei Abbildungen f, g ∈ U1 habe, ist dann auch f + g ∈ U1?

Oder ausformuliert: Wenn f(a) = f(b) ist und g(a) = g(b), muss dann auch

(f + g)(a) = (f+g)(b) gelten?

• Entsprechend für die letzte Bedingung; wenn r ∈ R und f ∈ U1 ist, muss dann auch r*f ∈ U1 gelten?

Oder auch hier ausformuliert: Wenn f(a) = f(b) gilt, gilt dann auch (r * f)(a) = (r * f)(b)?