Aufgabe Lineare Algebra?f?
Hallo,
ich würde diese Aufgaben gerne bearbeiten, weiß aber nicht, wo ich anfangen soll.
Hat jemand Tipps für die Bearbeitung solcher Aufgaben?
Viele Grüße
1 Antwort
In Übungsaufgaben zu linearer Algebra geht es erstaunlich häufig einfach nur darum, die Definitionen anzuwenden (damit du dich aktiv mit den Definitionen befasst). Wenn du also zeigen sollst, dass T(U) ein Unterraum von W ist, musst du dich fragen:
"Was ist ein Unterraum von W?"
Dann schlägst du folgerichtig die Definition von "Unterraum" nach und findest ein paar Axiome, die ein Unterraum erfüllen muss.
Dann musst du nachweisen, dass T(U) diese Axiome erfüllt, wobei du verwenden darfst, dass U ein Unterraum von V ist, d.h. U erfüllt diese Axiome bzgl. V. Du darfst ferner verwenden, dass T linear ist (auch die Definition von linearen Abbildungen solltest du ggf. nachschlagen, damit du weißt was das bedeutet).
Beispiel: Eines der Unterraumaxiome für einen Unterraum U von V lautet normalerweise:
Sind v,v' Elemente von U, so ist auch v + v' ein Element von U (Abgeschlossenheit unter Addition).
Diese Abgeschlossenheit unter Addition müssen wir für T(U) nachweisen:
Zu zeigen: Sind v, v' Elemente von T(U), dann ist auch v + v' Element von T(U).
Beweis:
Seien v, v' beliebige Elemente von T(U).
Dann gibt es dann Elemente u, u' von U mit T(u) = v und T(u') = v'. [Definition T(U)]
Damit ist v + v' = T(u) + T(u') = T(u + u'). [Definition lineare Abbildung]
Da u, u' Elemente von U sind, liegt aber auch u + u' in U [Definition Unterraum]
Somit ist T(u + u') ein Element von T(U) [Definition T(U)]
Damit ist also v + v' = T(u + u') ein Element von T(U).
Und genau dies war zu zeigen.
Beweis ende
Wie gesagt, einfach nur Definitionen eingesetzt ;) Probier das ganze mal für die anderen Unterraumaxiome.
Aufgabe b) funktioniert ähnlich dank dem Tipp: Du musst nur beweisen dass eine Basis von U durch T auf eine Basis von T(U) abgebildet wird (Definition einer Basis nachschlagen und die Eigenschaften einer Basis nachrechnen, du kennst den Drill). Damit weißt du automatisch, dass die Dimensionen gleich sind (warum? Definition von "Dimension" nachschlagen!)
Auch bei Aufgabe 6.3 lassen sich beide Richtungen gut mit den Definitionen lösen.