Kugelgleichung?
a) Bestimmen Sie die Kugel K, die die beiden Ebenen E1: 5x1 + 4x2 + 3x3 = −20 und E2: 5x1 + 4x2 + 3x3 = 50 berührt und deren Mittelpunkt auf der Verbindungsgeraden von A(2∣2∣−1) und B(3∣8∣1) liegt.
b) Bestimmen Sie die Ebene E, die die beiden Kugeln K1: (x1 − 3)2 + (x3 + 2)2= 36 und K2: (x1 + 1)2+ (x2 −4)2 = 36 berührt und den Punkt P(−1∣0∣5) enthält.
Wie löse ich diese Aufgaben?
2 Antworten
a)
Gerade AB: g(t) = (3,8,1) + t*(1,6,2)
Schnittpunkt g mit der Ebene E1: C = (1,-4,-3)
Schnittpunkt g mit der Ebene E2: B = (3,8,1)
Der Mittelpunkt der Kugel ist (B+C)/2 = (2,2,-1)
Der Abstand der beiden Ebenen beträgt 70/sqrt(5²+4²+3²) ~ 9.9
Der Kugelradius ist davon die Hälfte.
b)
Die Kugelgleichungen in der Frage sind unvollständig (das wären Zylinder), vermutlich gilt
K1: (x-3)² + y² + (z+2)² = 36
K2: (x+1)² + (y-4)² + z² = 36
M1=(3,0,-2) M2=(-1,4,0)
Sei A=(a,b,c) der Berührpunkt auf K1. Dann stehen die Vektoren M1-A = (3-a, -b, -2-c) und P-A = (-1-a, -b, 5-c) senkrecht aufeinander.
Ausserdem ist A Teil der Kugel K1. Das führt zu den zwei Gleichungen:
(3-a)(-1-a) + (-b)(-b) + (-2-c)(5-c) = 0
(a-3)² + b² + (c+2)² = 36
Lösung1: a=1, b=4, c=2
Lösung2: a=1, b=-4, c=2
Sei B=(d,e,f) der Berührpunkt auf K2. Dann stehen die Vektoren M2-B = (-1-d, 4-e, -f) und P-B = (-1-d, -e, 5-f) senkrecht aufeinander.
Ausserdem ist B Teil der Kugel K2. Das führt zu den zwei Gleichungen:
(-1-d)(-1-d) + (4-e)(-e) +(-f)(5-f) = 0
(d+1)² + (e-4)² + f² = 36
Lösung3: d=1, e = 0, f = 4
Lösung4: d=-3, e = 0, f = 4
Von den Lösungspaaren können nur eines richtig sein.
Lösung1: M1-A = 2,-4,-4
Lösung2: M1-A = 2,4,-4
Lösung3: M2-B = -2,4,-4
Lösung4: M2-B = 2,4,-4
Da M1-A und M2-B beide senkrecht auf der Ebene stehen, müssen sie linear abhängig sein. Das gilt nur für Lösung2 und Lösung 4.
Daraus folgt A=(1,-4,2) B=(-3,0,4)
Die Ebene PAB lautet: x+2y-2z=-11
a) Die beiden Ebenen sind parallel. Die Ebene E3, die genau in der Mitte dazwischen liegt, hat daher die Gleichung:
E3: 5x1 + 4x2 + 3x3 = 15
Diese Ebene muss man mit der Geraden AB schneiden. Der Schnittpunkt lautet
S(2/2/-1). Das ist dann auch der Mittelpunkt der Kugel.
Um den Radius zu ermitteln, muss man den Abstand von diesem Punkt zu einer der beiden Ebenen ermitteln und erhält dafür 4,95
Die Kugelgleichung lautet damit:
K: (x - (2/2/-1))^2 = 4,95^2