Kugel mit 3 Punkte
Hab ein kleines Problem.
ich hab 3 Punkte A,B,C und ich soll mit denen die kleinstmögliche Kugel aufstellen.
hab aber überhaupst keinen Plan wie ich das machen soll.
kann mir da vllt. irgendjemand helfen?
3 Antworten
3 punkte definieren nur einen kreis eindeutig. dieser kreis ist ein großkreis der minimalen kugel.
die 3 punkte bilden ein dreieck. seitenlängen: (abstand zwischen eckpunkten)
a=wurzel(3) b=3 c=wurzel(14)
z.b. mit dem satz des heron kann man nun die fläche des dreiecks A berechnen:
A = 0,25 * wurzel((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)) = 2,55
mit der fläche des dreiecks und den seitenlängen berechnet man nun den umkreisradius:
r = (abc)/4A = 1,90
das ist der radius der kleinsten kugel
Ich habe als Mittelpunkt
[-4.461538461, 8.115384615, 3.846153846]
heraus. Dein Radius und die Fläche stimmt allerdings. Leider hattest Du keine Rechnung angefügt, sodass ich nicht sehen konnte wo der Fehler liegt. Ob Du das noch mal prüfen könntest? Vielleicht liege ich auch verkehrt, Allerdings habe ich es zwei mal auf verschiedene Weisen durchgerechnet.
Einmal habe ich es als Ebenenschnittpunkt 3er Ebenen gemacht und einmal habe ich es über die Formel der Baryzentrische Koordinaten vom Umkreismittelpunkt gemacht.
M [-4.461538461; 8.115384615; 3.846153846] mit r = 1.906466727 ist korrekt. ich hab grad nachgerechnet und hatte gestern einen tippfehler drin.
danke für den korrekturhinweis :)
gerechnet hab ichs indem ich:
(a + 4)^2 + (b - 8)^2 + (c - 2)^2 = r^2
(a + 3)^2 + (b - 9)^2 + (c - 3)^2 = r^2
(a + 6)^2 + (b - 7)^2 + (c - 4)^2 = r^2
3·a - 4·b + c + 42 = 0
in ein computeralgebrasystem geschmissen habe. der beschriebene ansatz kam mir erst danach. ich habe mich dafür entschieden den rechenweg zu beschreiben, der besser "von hand" geht ;)
Nimm die Kugelgleichung (x-x0)^2 + (y-y0)^2 + (z-z0)^2 = r^2. Dann setzt du deine drei Punkte ein, damit hast du ein Gleichungssystem mit 4 Unbekannten und 3 Gleichungen, es ist also unterbestimmt, das heißt, eine Variable bleibt übrig (am besten r). Nun nimmst du die Volumenformel als Funktion von r, leitest ab, setzt die Ableitungen = 0 (oder auch alle partiellen Ableitungen, weiß ich jetzt gerade nicht, müsste ich mal selbst rechnen), dann hast du das Minimum von V.
Gib doch mal die Koordinaten.
hier die exakten werte:
Mittelpunkt: (-4.413793103 ; 8.051724137 ; 3.862068965)
radius = 1.908193111