Kreuzprodukt umstellen: v= W x R , nach w umstellen?
kann man das überhaupt machen?
3 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/poseidon42/1460229407172_nmmslarge__0_0_383_383_3768e5723c9484f0368755f73e303a0e.jpg?v=1460229409000)
Sei die Gleichung:
v = w x r
gegeben. w sei unbekannt und gesucht. Wir bilden nun auf beiden Seiten das Kreuzprodukt mit r:
r x v = r x ( w x r )
Für das doppelte Kreuzprodukt: a x (b x c) gilt die sogenannte Graßmann Identität:
a x ( b x c ) = (a*c)*b - (a*b)*c (bac - cab Regel)
Die Anwendung hier liefert:
r x v = (r*r)*w - (r*w)*r
wenn nun r*w = 0 ist, w und r also orthogonal zueinander sind, so lässt sich nun die Gleichung nach w auflösen:
r x v = (r*r)*w
Umstellen würde an dieser Stelle liefern:
1/(r*r) * (r x v) = w
Ist w nicht orthogonal zu r, so lässt sich diese Gleichung leider nicht so einfach umstellen.
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/9_nmmslarge.png?v=1551279448000)
Wow - danke für den Beitrag - ich hätt mir nicht gedacht das es auf diese Weise eigentlich leicht zu lösen ist! Der Clou ist aber die Orthoganilität zwischen r und omega - bur so funktioniert es dann oder? Top
![](https://images.gutefrage.net/media/user/michiwien22/1558864367180_nmmslarge__101_0_186_186_a55bbd11e4dc916ca856e2e974d91619.png?v=1558864367000)
Eindeutig lösbar ist das i.A. nicht, die Lösungsmenge von
V = W x R
ist aber die Parameterschar
W = (R x V) / R² + k * R ; k ∈ ℝ
wie man sich aufgrund bac-cab leicht überzeugt.
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Roderic/1444750288_nmmslarge.jpg?v=1444750288000)
Nein, kann man nicht.
Dazu müsste eine Umkehrfunktion zum Kreuzproduktoperator definiert sein.
Gibt es aber nicht, da die Funktion des Kreuzprodukts zwar surjektiv ist aber nicht injektiv.