Konstruieren einer Basis in R^4?

Kann mir jemand einen Hinweis zu folgender Aufgabe geben?

Also um den R^4 zu bilden brauche ich mind. 4 Vektoren, da diese aber lin. unabhängig sein sollen brauche ich genau 4, also such ich einen Vektor z , sodass gilt dass u,v,w,z lin. unabhängig sind und gleichzeitig ein erzeugendensystem im R^4.
Wenn ich mir z.b. den Vektor (0 0 1 0)^T nehme dann gilt die lin. unabhängigkeit; wie zeige ich nun dass diese auch ein erzeugendensystem (oder auch nicht) bilden?
Habe versucht Gleichungen aufzustellen aber kam zu keinem Ergebnis..

Kann mir jemand einen Tip geben

Answer 1

[PWolff]

Direkt nachweisen kannst du es, indem du

• z. B. jeden der Standard-Einheitsvektoren (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) jeweils als Linearkombination dieser Vektoren darstellst
• z. B. den "allgemeinen" Vektor (x,y,z,w) als Linearkombination dieser 4 Vektoren darstellst

Woher ich das weiß: Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Comments

[PWolff]

"w" ist nicht so günstig als Koordinatenname, weil schon einer der Vektoren so heißt. Besser Vektor (k,l,m,n) o. ä.

[Kurax151]

Vielen Dank

Answer 2

[DerRoll]

Wenn vier Vektoren im R^4 linear unabhängig sind, dann sind sie auch Erzeugendensystem und damit eine Basis.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

Comments

[Kurax151]

Ich weiß halt nicht ob ich das schreiben darf (also ob wir das so schon hatten) ich wollte jetzt eben mit Gleichungen lamda 1 bis 4 finden und zeigen das jeder Vektor x im span der vektoren u,v,w,z ist

[DerRoll]

@Kurax151

Dann bilde die Matrix der vier Vektoren und führe sie über Gauß-Verfahren auf eine Dreiecksmatrix zurück. Dann weißt du dass sich jeder Vektor in R^4 als Linearkombination der vier Vektoren schreiben läßt (nichts anderes ist ja die Lösung eines LGS).

[Kurax151]

@DerRoll

Habe es wie PWolff mit den Basisvektoren gemacht, aber so geht es auch, Vielen Dank