Komplexe Zahlen zweidimensional?
Ich interessiere mich für Mathematik und lese auch in meiner Freizeit ganz gerne mal Lektüre. Ich habe allerdings noch ein wenig Verständnisprobleme auf dem Gebiet der komplexen Zahlen. In der mir bekannten Schulanalysis sind Ebenen und Räume ja immer nur in Form von Gleichungen beschrieben worden, nicht aber als “lose“ Zahlen bzw. Additionen, deswegen finde ich die Vorstellung von einzelnen mehrdimensionalen Zahlen etwas abwegig. Kann man die Zahlform a+bi denn dann wirklich als zweidimensionale Zahlenebene verstehen? Und wenn das tatsächlich so ist, gibt es dann auch andere nicht-reele Zahlen außer i, mit denen man eine Zahlenebene bilden kann?
3 Antworten
C ist ein eindimensionaler C-Vektorraum und ein zweidimensionaler R-Vektorraum. Die Dimension hängt also vom zugrundeliegenden Körper ab. Aus diesem Körper kommen nämlich die Linearfaktoren bei der Basisentwicklung. Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum und https://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Vektorraum)
Genau, R² ist auch ein zweidimensionaler R-Vektorraum.
Du denkst in reellen Dimensionen. C ist ja ein zweidimensionaler R-Vektorraum, hat also zwei reelle Dimensionen. Es ist aber ein eindimensionaler Raum, hat also eine komplexe Dimension. C³ hätte drei komplexe und sechs reelle Dimensionen.
Wie kann ich mir denn eine komplexe Dimension vorstellen? Eine reelle Dimension kann man sich ja mehr oder weniger als Gerade vorstellen. Wenn eine komplexe Dimension zwei reelle enthält, kann man sich dann eine komplexe dimension wie eine reele Zahlenebene vorstellen, die zu einer geraden “zusammengeklappt“ wurde?
Ich bin mir nicht mehr ganz sicher lineare Unabhängigkeit war doch in etwa dass unterschiedliche Vektoren unterschiedliche Richtungen im Raum angeben, also z. B. im dreidimensionalen Raum drei Vektoren nicht in der gleichen Ebene liegen oder? Sorry wenn das laienhaft ausgedrückt ist
Ja, ist in etwa richtig, aber wir brauchen es etwas präziser. Zwei Vektoren v und w sind linear unabhängig, wenn aus
a*v + b*w = 0
folgt, dass die Linearfaktoren a=b=0 sind. Das Gleiche für beliebig viele linear unabhängige Vektoren, ist ihre Linearkombination Null, dann müssen die Linearfaktoren Null sein.
Sind jetzt die Vektoren v und w aus C (aufgefasst als Vektorraum), dann kann es zwei linear unabhängige Vektoren in C geben, falls a und b reelle Zahlen sein sollen. Aber es kann nur einen linear unabhängigen Vektor v aus C geben, falls a und b selbst komplexe Zahlen sind.
Okay das leuchtet ein soweit ich das jetzt verstanden habe sind also in mehrdimensionalen Räumen z. B. die Koordinatenachsen linear unabhängig voneinander.
Folgt jetzt daraus dass man von komplexen Dimensionen spricht wenn die Linearfaktoren komplex sein müssen bzw. von reelen Dimensionen wenn die Linearfaktoren reel sind? Wenn das jetzt stimmt habe ich es glaub ich verstanden :D
Okay das erleichtert die Vorstellung um einiges vielen Dank!
Bleibt nur noch meine anfängliche Frage ob es auch noch andere Zahlen außer i gibt mit denen man solche komplexe Zahlen bilden kann. Im Endeffekt kann man komplexe Zahlen ja in der Form a+bc mit jeder nicht-reelen Zahl c darstellen nur gibt es außer der imaginären Zahl i noch andere nicht-reele Zahlen die ich hier für c einsetzen könnte?
Das Besondere an i ist ja, dass i²=-1. Du kannst prinzipiell ein anderes c nehmen, das eine andere Eigenschaft erfüllt (oder gar keine). Dann müsstest du nur noch prüfen, ob so tatsächlich wieder ein Körper herauskommt, also alle Axiome eines Körpers testen. Der resultierende Körper ist aber dann natürlich nicht mehr C sondern ein ganz anderer Körper. C ist mit c=i definiert.
Das heißt aber das im Prinzip einer oder unendlich viele ähnliche Körper wie C existieren können, die im Prinzip genauso funktionieren, wobei der Sinn dabei natürlich fraglich ist... Danke jedenfalls hat mir wirklich weitergeholfen
Klar, man kann sich sehr viele unterschiedliche Körper definieren, man muss nur sicherstellen, dass die Objekte, die man sich da definiert, tatsächlich Körper sind. Und ja, die meisten dürften weniger nützlich sein als C, deshalb hat C auch überhaupt einen Namen bekommen.
Das liegt aber im Prinzip nur daran dass die imaginäre Zahl als erstes eingesetzt wurde oder? Hätte man irgendeine andere nicht-reele Zahl, nenn ich jetzt mal j mit was auch immer für Eigenschaften, zuerst entdeckt, wäre es doch wahrscheinlich dass man dann heute j statt i verwenden würde weil es im Prinzip ja keinen Unterschied macht welche nicht komplexe Zahl man verwendet oder hat i noch irgendwelche praktischen Vorteile gegenüber irgendeiner Zahl j?
Nun, i hat den Vorteil, dass i²=-1. Dadurch ist C algebraisch abgeschlossen (also jede algebraische Gleichung mit Koeffizienten aus C hat Lösungen in C). Siehe dazu auch den Wiki-Eintrag zu C: https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl
Zitat daraus:
Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion, der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann. Ferner ist jede auf einer offenen Menge einmal komplex differenzierbare Funktion dort auch beliebig oft differenzierbar – anders als in der Analysis der reellen Zahlen. Die Eigenschaften von Funktionen mit komplexen Argumenten sind Gegenstand der Funktionentheorie, auch komplexe Analysis genannt.
Die Komplexen Zahlen kann man sich als Vektor in der Ebene vorstellen.
Der Vektor hat seinen Ursprung immer im Schnittpunkt der beiden Achsen, also in der 0.
Das ist bei den Reellen Zahlen auch so. Nur dass der Vektor entlang der reelen Achse nach rechts (positive Zahlen), oder links (negative Zahlen) geht.
Die Reellen Zahlen sind also nur ein Sonderfall der Komplexen Zahlen.
Außer in der Form a+ib kann man diese auch in der Form r*e^(i*phi) darstellen, wobei r die Länge des Vektors und phi der Winkel zwischen der positiven reellen Achse und dem Vektor ist (gemessen gegen den Uhrzeigersinn).
Für die reellen Zahlen gilt:
Phi = 0 für positive Zahlen
Phi = Pi für negative Zahlen
Das ist irgendwie die Polarform oder so ähnlich oder? Aber okay das leuchtet soweit ein.
Ein Vektor ist aber auch immer nur eine Zahl worin genau liegt eigentlich der Zweck vom Betrag der komplexen Zahl denn man kann die Zahl und den.Betrag ja nicht einfach gleichsetzen
Nein, kann man nicht gleichsetzen, da jede Zahl durch Betrag UND Winkel definiert ist.
Eine positive Reelle Zahl hat den Winkel 0, eine negative den Winkel Pi und jede andere (Komplexe) Zahl einen Winkel zwischen 0 und 2 Pi.
Hier findest du eine - wie ich meine - geniale Veranschaulichung komplxer Zahlen:
https://youtube.com/watch?v=2sDXHbSJOrM
Im 2.Teil werden Anwendungen auf Bilder und Fraktale gezeigt.
Ein bisschen Grundwissen aus der Unterstufe (negative Zahlen; Koordinatensystem; elementare Algebra) reichen vollkommen, um es zu verstehen.
Ein zweidimensionaler R-Vektorraum wäre aber auch z. B. R² oder verstehe ich das falsch?
Und wenn C auch ein eindimensionaler Vektorraum sein kann, müsste man C nicht in einer Zahlengerade darstellen können? Soweit ich das verstehe kann das ja eigentlich nicht gehen weil man komplexe Zahlen nicht in einer festen Reihenfolge ordnen kann wenn die bereits zwei Dimensionen enthalten.