Komplexe Zahlen?

Hey, habe folgendes Problem und weiß nicht wirklich was die genau von mir wollen:

Zeigen Sie, dass zwei komplexe Zahlen z1, z2 genau dann beide zueinander konjugiert (d.h. z1 = a + ib, z2 = a − ib für reelle a,b) oder beide reell sind, wenn sowohl z1 + z2 als auch z1 · z2 reelle Zahlen sind. 

Vielen Dank für eure Hilfe!

Peter

Answer 1

[YBCO123]

An welchem Schritt hängst du?

Du musst in beide Richtungen zeigen

$Im\left(z_1+z_2\right)=0,\ Im\left(z_1z_2\right)=0\ \ \leftrightarrow\ z_2=z_1^{\cdot}$

Answer 2

[nobytree2]

sei r der Realteil und i der Imaginärteil

$\left(z_1+z_2\right)\in\mathbb{R}\ \to\left(r_1+i_1\right)+\left(r_2+i_2\right)=\left(r_1+r_2\right)+\left(i_1+i_2\right)\in\mathbb{R}$ $da\ \in\mathbb{R}:\ i_1+i_2=0\to i_1=-i_2$ $z_1z_2\in\mathbb{R}\to\left(r_1+i_1\right)\cdot\left(r_2+i_2\right)=r_1r_2+r_2i_1+r_1i_2+i_1i_2$

$\to\left(r_2i_1+r_1i_2+i_1i_2\right)\in\mathbb{R}\to\left(r_2i_1+r_1i_2\right)\in\mathbb{R},\ da\ i_1i_2\in\mathbb{R}$ $\left(\left(r_2i_1+r_1i_2\right)\in\mathbb{R}\ \wedge\ i_1=-i_2\right)\to\left(r_2i_1-r_1i_1\right)\in\mathbb{R}\to r_2=r_1$ $da\ \left(r_2i_1-r_1i_1\right)=i_1\left(r_2-r_1\right)\ \to nur\ dann\ \in\mathbb{R},\ wenn\ i_1\left(r_2-r_1\right)=0$ $i_1\left(r_2-r_1\right)=0\to i_1=0\ \left(aber\ i_1\ne0\right)\ oder\ r_2-r_1=0\to r_2=r_1$

qed

Answer 3

[gfntom]

Setze z1 = a1 + i b1 und z2 = a2 + i b2

Berechen z1 + z2 -> welche Bedingung erhältst du für b1 und b2?

Berechne z1 * z2 -> welche Bedingung erhältst du (wenn du die obige Bedingung für b1 und b2 verwendest), für a1 und a2?