Kombinatorik - Fußballteam
Hallo Leute! Folgende Aufgabe: 12 Fußballteams sollen in 3 Gruppen á 4 Mannschaften eingeteilt werden. Wie viele mögliche Gruppenkonstellationen gibt es?
Mein Ansatz wäre gewesen: (16/4) heißt 16 über 4
{ (12/4) * (8/4) * (4/4) ] 3!
Ist das soweit richtig? Muss ich durch 3! teilen? Ich habe dies deshalb getan, da es ja egal ist, in welcher Reihenfolge die Gruppen sind.
Auf Hilfe hoffend, Quomox
2 Antworten
- G -- Anzahl der Gruppen (soll 3 sein)
- N -- Mannschaften je Gruppe (sollen 4 sein)
- M -- Mannschaften insgesamt (sollen 12 sein)
- K -- mögliche Gruppenkonstellationen
Es gilt: M = G * N.
Mein Ansatz: K = M! / (n!^M * M!)
Macht bei 3 Gruppen á 4 Mannschaften 5775 Konstellationen.
Begründung: Es gibt 12! Möglichkeiten, die 12 Mannschaften auf 12 Plätzen anzuordnen. In jeder Gruppe gibt es 4! Möglichkeiten, die 4 Mannschaften in der Gruppe anzuordnen. Das macht bei 3 Gruppen 4!^3 Anordnungen in den Gruppen. Und die 3 Gruppen untereinander können auf 3! Arten angeordnet werden. Die Gesamtzahl der Konstellationen ist also 12! / (4! * 4! * 4! * 3!).
Für 2 Gruppen je 2 Mannschaften ist K = 4! / (2!^2 * 2!) = 24 / 8 = 3.
Das sind sie:
1 2 --- 3 4
1 3 --- 2 4
1 4 --- 2 3
Für 2 Gruppen je 3 Mannschaften ist K = 6! / (3!^2 * 2!) = 720 / 72 = 10.
1 2 3 --- 4 5 6
1 2 4 --- 3 5 6
1 2 5 --- 3 4 6
1 2 6 --- 3 4 5
1 3 4 --- 2 5 6
1 3 5 --- 2 4 6
1 3 6 --- 2 4 5
1 4 5 --- 2 3 6
1 4 6 --- 2 3 5
1 5 6 --- 2 3 4
Wer Lust hat, kann ja ein Programm schreiben, das alle 5775 Konstellationen ausdruckt. :-)
Ich hätte es genauso gemacht!