Könnt ihr mir bitte helfen ist sehr dringend?

Wie viele Permutationen in S6 haben genau drei Zyklen? Wie viele davon sind fixpunktfrei?

2 Antworten

mihisu

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

06.08.2021, 09:48

Hinweise:

Überlege dir welche Zykeltypen möglich sind und zähle für diese Zykeltypen jeweils die Anzahl entsprechender Permutationen.
Für die zweite Frage: Was bedeutet fixpunktfrei? Wie kann man Fixpunkte bei den Zyklen erkennen?

===========

Lösung:

Folgende Überlegungen...

Es kann keinen Zykel der Länge 5 oder größer geben, da sonst nicht genug Platz für zwei weitere Zykel (mit Mindestlänge 1) ist.
Wenn es einen 4er-Zykel gibt, so müssen die beiden anderen Zykel 1er-Zykel sein.
Wenn es einen 3er-Zykel gibt, so müssen die anderen Zykel ein 2er- und ein 1er-Zykel sein.
Wenn es keinen 4er- oder 3er-Zykel gibt, müssen es drei 2er-Zykel sein.

Bild zum Beitrag

Für die Anzahl der Permutationen eines bestimmten Zykeltyps siehe beispielsweise: https://de.wikipedia.org/wiki/Zykeltyp#Zahl_der_Permutationen_pro_Typ

Beispielsweise beim Zykeltyp (4, 1, 1): Es gibt 6! Möglichkeiten 6 Zahlen anzuordnen. Da man die ersten 4 Zahlen zyklisch durchtauschen kann, ohne dass sich die Permutation ändert, man also das Startelement des Zykels frei wählen kann, muss man die Anzahl durch 4 teilen. Da man die beiden gleichlangen 1er-Zykel vertauschen kann, ohne dass sich die Permutation ändert, muss man die Anzahl noch durch 2! = 2 teilen. So erhält man also dann 6!/(4 ⋅ 2) = 90.

Jedenfalls kann man nun diese Anzahlen zusammenzählen und erhält 90 + 120 + 15 = 225 für die gesuchte Anzahl an Permutationen mit 3 Zyklen in S₆.

Davon sind offensichtlich genau die 15 Zykel mit Zykeltyp (2, 2, 2) fixpunktfrei. [Fixpunktfrei bedeutet, dass es keine 1er-Zykel gibt. Denn die 1er-Zykel entsprechen genau den Fixpunkten der Permutation.]

DerRoll

Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer

Mathematik

06.08.2021, 09:22

Das ist doch kein Schulthema? Wie kommst du überhaupt zu diesem Thema? Was bedeutet denn "Zyklus"? Was bedeutet "Fixpunkt"?

Überlege dir das der einfachste Zyklus eben der Fixpunkt ist. Wie sehen andere Zyklen in S6 aus? Wie kann eine Permutation in S6 in 3 Zyklen zerfallen? Wie muß die Permutation zerfallen wenn eben keine Fixpunkte erlaubt sind?

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Dipl.Math.

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