Kleine, dumme Frage?
Hey liebe Mathecommunity,
ich arbeite gerade in der vorlesungsfreien Zeit nochmal mein Analysis I - Skript durch und bin gleich relativ am Anfang an einem Satz hängen geblieben, der mich länger aufhält, als er sollte. Es geht schlicht darum, zu beweisen, dass Z additiv und multiplikativ abgeschlossen ist. Ich bin mir sicher dafür gibt es eine einfache Begründung, sehe sie jedoch einfach nicht. Hat jemand einen Tipp? :D
2 Antworten
Ich weiß nicht, ob es ein Beweis ist, aber ich würde es so begründen:
Wenn a und b aus Z sind, dann kann man für a, b >= 0 direkt sagen, dass auch a + b und a • b in Z liegen, da N eine Teilmenge von Z ist.
Wenn a, b < 0, dann kann man genau umgekehr argumentieren, weil man Z so definieren kann, dass für jedes natürliche a in Z ein –a mit a + (–a) = (–a) + a = 0 gibt.
Wenn also a, b < 0 bzw. –a, –b > 0, dann ist aufgrund der Abgeschlossenheit vol N auch (–a) + (–b) aus N und damit –((–a) + (–b)) = a + b aus Z. Außerdem ist (–a) • (–b) aus N, also auch (–a) • (–b) = a • b aus Z.
Ist nun o.B.d.A. a < 0, b >= 0 und b >= a, dann ist b + a eine natürliche Zahl, also aus Z. Ist b < a, dann ist –(b + a) eine natürlich Zahl, also aus Z. Nach Definition von Z, ist dann aber auch –(–(b + a)) = b + a aus Z. Für a • b kann man analog argumentieren.
Insgesamt ist Z also abgeschlossen bzgl. der Addition und Multiplikation.
Ich hoffe, das hilft dir weiter
Wenn du weißt, dass N additiv und multiplikativ abgeschlossen ist, dann kannst du das mit einer geeigneten Konstruktion von Z aus N schließen (dazu kannst du bei Wikipedia unter "ganze Zahl" schauen).
Um so eine Frage zu beantworten, ist es in der Regel hilfreich, sich zu überlegen, was die genaue Definition der Menge eigentlich ist. Was sind ganze Zahlen?
Und genau das ist das Problem: Deine Definition der ganzen Zahlen ist schwammig. Wie ist die Multiplikation definiert usw. usw. Daher mein Verweis auf die Konstruktion in der Wikipedia, wenn man sich das anschaut, wird unmittelbar klar, warum die Abgeschlossenheit von Z direkt aus der Abgeschlossenheit von N (inkl. Null) gilt.
Naja, natürliche Zahlen, die Null und die negativen der natürlichen Zahlen. Was mir schwerfällt ist es, hier einen klaren Beweis zu formulieren, so schwammig bekomme ich das hin, aber ich suche nach etwas kurzem, knackigem :D