KGV bestimmen mit Variablen?

Hab die Frage meinem Lehrer gestellt, deswegen sende ich einfach einen Screenshot davon.

Answer 1

[FataMorgana2010]

Beides ist richtig. Du hast richtig gesehen:

$\frac{...}{a-5}+\frac{...}{35-7a}+\frac{...}{a^2}=\frac{...}{\left(-1\right)\left(5-a\right)}+\frac{...}{7\left(5-a\right)}+\frac{...}{a^2}$ und daraus den Hauptnenner (-1)(5-a) * 7 * a² = -7a²(5-a) gebildet.

Man kann aber genauso rechnen:

$\frac{...}{a-5}+\frac{...}{35-7a}+\frac{...}{a^2}=\frac{...}{\left(a-5\right)}+\frac{...}{\left(-7\right)\left(a-5\right)}+\frac{...}{a^2}$ Und dann bekommt man als Hauptnenner (a-5)*(-7)*a² = -7a² (a-5). Du musst das dann nur beim Erweitern richtig machen:

Mit deinem Hauptnenner:

$\frac{7a^2\left(...\right)}{-7a^2\left(5-a\right)\ }+\frac{\left(-1\right)a^2\left(...\right)}{-7a^2\left(5-a\right)}+\frac{\left(-1\right)\cdot7\cdot\left(5-a\right)\left(...\right)}{-7a^2\left(5-a\right)}\ =...$

Mit der Lösung: $\frac{-7a^2\left(...\right)}{_{-7a^2\left(a-5\right)}}+\frac{a^2\left(...\right)}{-7a^2\left(a-5\right)}+\frac{-7\left(a-5\right)\left(...\right)}{-7a^2\left(a-5\right)}=...$

Am Ende kommt natürlich das Gleiche heraus, man muss nur jedes Mal bei jedem Bruch schauen, womit man ihn erweitern muss.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl.-Math. :-)

Answer 2

[Rhenane]

Letztendlich ist das das gleiche. Die kgVs unterscheiden sich nur durch den Faktor -1. Nach dem Erweitern und "Entfernen" des Hauptnenners unterscheiden sich die Gleichungen nur durch diesen Faktor -1, d. h. die Lösungsmenge ist dieselbe!

"Beweis":

Ich nehme als Zähler mal allgemein b,c und d:

b/(a-5)+c/(7(5-a))=d/a²

<=> (I) b/(a-5)+c/(-7(a-5))=d/a²

<=> (II) b/-(5-a)+c/(7(5-a))=d/a²

HN -7a²(a-5) => (nur Zähler) in (I) erweitert:

(III) -7a²b+a²c=-7(a-5)d

HN -7a²(5-a) => mit (II) erweitert:

(IV) 7a²b-a²c=-7(5-a)d

(III) = -1 * (IV)

Answer 3

[Tannibi]

Das kgV der ersten beiden Nenner ist

-7 (a-5)

Da a² nicht in das Schema passt, musst du es
wohl oder übel "dazumultiplizieren". Dadurch
entsteht

-7 a² (a-5)

Comments

[FataMorgana2010]

Aber.... genauso könnte man doch auch sagen, dass ein KgV der beiden ersten Nenner (-1) * (7 *(5-a)) ist? Das ist doch nur eine andere Faktorisierung. Ob ich nun beim ersten Bruch die -1 heraus ziehe und beim zweiten eine 7 oder umgekehrt beim ersten nichts herausziehe, dafür aber beim zweiten eine -7, welchen Unterschied macht das?

[Tannibi]

@FataMorgana2010

(-1) * (7 *(5-a)) != -7 (a-5)

anderes Vorzeichen

[FataMorgana2010]

@Tannibi

Ja klar. Darum geht es ja - es gibt zwei Möglichkeiten, diesen Hauptnenner zu bestimmen, die sich eben durch das Vorzeichen unterscheiden. BEIDE sind richtig. Man muss das dann nur beim Erweitern richtig machen.

[Tannibi]

@FataMorgana2010

Mach es einfach, wie du willst.

Answer 4

[Ellejolka]

hast alles richtig gemacht!