Ketten und Produktregel?
Hallo kann Mir jmd bei folgender Aufgabe helfen. Ich verstehe es gar nicht.
2 Antworten
Produktregel (u*v)´=u´*v+u*v´
wird angewendet,wenn f(x)=f1(x)*f2(x) hier f1(x) undf2(x) nicht zusammengefaßt werden können
Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=inne Ableitung mal äußere Ableitung
a) f(x)=(x+2)⁴ Substitution (ersetzen) z=x+2 abgeleitet z´=dz/dx=1
f(z)=z⁴ abgeleitet f´(z)=4*z³
f´(x)=z´*f´(z)=1*4*z³=4*(x+2)³
zu e) f(x)=e^(2*x) Substitution z=2*x abgeleitet z´=dz/dx=2
f(z)=e^(z) abgeleitet f´(x)=e^(z)
f´(x)=z´*e^⁽z)=2*e^(2*x)
n) f(x)=x*e^(1-x) hier Kettenrgel und Produktregel anwenden
u=x abgeleitet u´=du/dx=1
v=e^(1-x) nach Kettenregel ableiten
Substitution z=1-x abgeleitet z´=dz/dx=-1
f(z)=e^(z) abgeleitet f´(z)=e^(z)
v´=z´*f´(z)=-1*e^(1-x)
f´(x)=1*e^(1-x)+(x)*(-1)*e^(1-x) nun e^(1-x) ausklammern
f´(x)=e^(1-x)*(1-x)
Beinhaltet die Funktion, die Du ableiten musst quasi noch eine "innere Funktion", dann musst Du diese ebenfalls ableiten (innere Ableitung).
z. B. die Aufgaben a)-d): Hier hast Du Potenzen vorliegen, deren Basis jeweils wieder eine Polynomfunktion ist, d. h. Du musst zuerst die gesamte Potenz mit der Potenzregel ableiten und das dann mit der Ableitung der Basis (=innere Ableitung) multiplizieren.
Bei 1a) ist die innere Ableitung (x+2) gleich 1, daher nehme ich mal als besseres Beispiel die 1b):
Die Potenz (8x+2)³ mit der Potenzregel abgeleitet ergibt schon einmal 3 * (8x+2)² [Exponent als Faktor nach vorne und den Exponenten um 1 reduzieren]. Nun kommt noch die innere Ableitung der Basis, also der "inneren Funktion" (8x+2) hinzu, also 8 (diese wird multipliziert).
also f(x)=(8x+2)³ => f'(x)=3(8x+2)² * 8 = 24(8x+2)²
bei e)-l) hast Du jeweils die e-Funktion, die im Exponenten eine "innere Funktion" besitzen, d. h. Du musst die e-Funktion ableiten (ist ja die unveränderte Potenz), mal der Ableitung des Exponenten (=innere Ableitung)
bei m)-p) musst Du zum einen die Produktregel anwenden und dabei dann zusätzlich den Exponenten von e ableiten, wenn Du die e-Potenz ableitest