Kann mir vlt jemand bei dieser Gleichung helfen?
Um genau zu sein geht es um eine Gleichung 3. Grades.
x^3 + x - 56 = 0
Ich habe das ganze jetzt ausgeklammert um den Satz des Nullproduktes anwenden zu können.
x (x^2 + 1) - 56 = 0
x^2 - 55 = 0
x^2 = 55 (Wurzel ziehen)
x = Wurzel 55
Als ich oben bei x^3 + x - 56 die Wurzel von 55 eingesetzt habe, ist keine 0 rausgekommen. Ich versteh nicht ganz, was ich falsch gemacht hab. Erkennt irgendjemand einen Fehler?
5 Antworten
Ja. Erstens kannst den Satz vom Nullprodukt
hier nicht anwenden, weil du dafür den ganzen
Term in ein Produkt umwandeln müsstest.
Das geht wegen der 56 nicht. Zweitens ist
x (x^2 + 1) - 56
nicht
x^2 - 55
Du kannst nicht einfach die 1 rausziehen.
In der Ausgangsgleichung musst du die erste Nullstelle
raten. Es gibt nur eine, bei ca. 3.74.
Als du ausgeklammert hast, danach der Schritt macht keinen Sinn. Das x was du ausgeklammert hast verschwindet einfach und generell macht das keinen Sinn in meinen Augen
Ich weiß nicht, was genau du da machst, aber du kannst 1 und 56 nicht zu 55 verrechnen, weil die 1 in einer Klammer drinsteckt und die 56 nicht.
Hier lässt sich nichts ausklammern, deshalb ist die Einzige Hoffnung hier eine Nullstelle zu raten und dann eine Polynomdivision durchzuführen um die anderen beiden zu erhalten.
In diesem konkreten Beispiel gibt es aber nur eine reelle Nullstelle und die ist irrational, also nicht wirklich erratbar. Deshalb die Frage an dich: Sicher, dass die Aufgabenstellung so richtig ist?
Sollte bestimmt x²+x-56=0 lauten mit x1=7 und x2=-8 als Lösungen heißen.
Hallo,
wie auch.
Ausklammern bringt nur etwas, wenn in jedem Term ein x vorkommt.
Diese Gleichung löst Du entweder durch ein Näherungsverfahren wie das von Newton, mit Hilfe eines Taschenrechners oder mit der reduzierten Form der cardanischen Formel, die in der Schule nicht gelehrt wird.
Raten und Polynomdivision scheidet aus, weil es keine ganzzahligen Nullstellen gibt.
Zu Deiner Information:
Die einzige reelle Lösung ist x=3,738751443
Herzliche Grüße,
Willy
Dann haben die wohl einen Tippfehler gemacht. Da steht nämlich x^3.
Hier liegt aber kein Nullprodukt vor { das wäre (x^3 + x) * 56 = 0 }
, sondern ein Polynom 3. Grades mit 3 Summanden!
Auch ein "Probieren auf glatten Sonderfall" (wie es Lehrer gern vorgeben) liegt hier nicht vor! Selbst ausgedacht oder falsch abgeschrieben?
An diesen Aufgaben kann man den Wissensstand messen:
a) vor über 900 Jahren https://de.wikipedia.org/wiki/Bisektion
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm Beispiel 2
Nach 44 Schritten 14 Stellen genau für 1 von 3 Nullstellen.
b) vor über 500 Jahren konnte man die Gleichung nach einem x umstellen und eine selbstkonvergierende Iteration aufstellen.
c) Mit Ableitungsfunktionen konnte man die Iteration in ihrer Konvergenzgeschwindigkeit verbessern: https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren
Nach 4 Schritten 15 Stellen genau.
d) die https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln waren dann exakt, hatten aber noch Fallunterscheidungen.
e) Mit den komplexen Zahlen hatte man dann die exakten PQRST-Formeln, die man analog der pq-Formel einfach nur einsetzen braucht und alle 3 Lösungen bekommt.
http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php
rechnet d) und e) vor:
x1= (252 + sqrt(63507))^(1/3)/3^(2/3) - 1/(3 (252 + sqrt(63507)))^(1/3)
mit sqrt(x)=Wurzel(x)
Sollte es nicht in Wirklichkeit x²+x-56=0 heißen?
Das kannst Du in (x-7)*(x+8)=0 umwandeln.
Hier kannst Du jetzt wirklich den Satz vom Nullprodukt anwenden und die Lösungen direkt ablesen. (7 und -8)