Kann mir jmd in mathe weiterhelfen?
Ich habe ein problem, undzwar ich komm hier nicht weiter..
Gegeben sei die funktion f (x)=x^4-1,5ax^2 Welche bedingungen muss a erfüllen wenn die funktionen 2 wendepunkte besitzen soll? Wie muss a konkret gewählt werden wenn die funktion in diesen wendenpunkten den wert -5 annehmen soll? Kann die funktion einen sattelpunkt haben ?
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Gegeben sei die funktion f (x)=(a+1) x+1/x mit reellem parameter a. Für welche parameterwerte ibt es 2 extremalstellen, genau eine extremalstelle, keine extremalstelle?
Ich weiß nie wie ich an solchen aufgaben vorgehen soll :( Kann mir jmd bitte helfen ?
4 Antworten
Hallo,
eine Funktion besitzt dort Wendestellen oder Sattelpunkte, wo die zweite Ableitung gleich Null ist. Ein Sattelpunkt liegt dann vor, wenn auch die erste Ableitung gleich Null ist.
Du bildest also zu f(x)=x⁴-1,5ax² die erste und die zweite Ableitung:
f'(x)=4x³-3ax
f''(x)=12x²-3a
Nun setzt Du die zweite Ableitung gleich Null:
12x²-3a=0 |+3a
12x²=3a |:12
x²=a/4
Damit ist x die halbe Wurzel aus a.
Wenn f(x) zwei Wendestellen haben soll, also x=√a/2 zwei Lösungen besitzen soll, muß gelten: a>0
Bei der zweiten Funktion mußt Du die erste Ableitung bilden:
f'(x)=a+1-1/x² |+1/x²
a+1=1/x² |*x² :(a+1)
x²=1/(a+1)
x=√[1/(a+1)]
Diese Gleichung besitzt immer dann zwei Lösungen, wenn der Ausdruck unter der Wurzel größer als Null ist; das ist bei a>(-1) der Fall.
Ansonsten gibt es keine Lösung. Ein a zu finden, bei dem der Ausdruck unter der Wurzel gleich Null ist - das wäre die Bedingung für nur eine Extremstelle - ist unmöglich.
f(x) hat also zwei Extremstellen, wenn gilt: a>-1, ansonsten hat sie keine.
Herzliche Grüße,
Willy
In der 1. Aufgabe dürfte kein Sattelpunkt zu finden sein wegen x^4 und x².
Für Wendepunkte hast du schon die Parameterbelegungen (±√a)/2 erhalten. Wenn f(x) = -5 sein soll, setzt du den Parameter für a in die Funktionsgleichung ein mit y = -5.
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kommt dann a = ±4 heraus.
Den y-Wert von -5 gibt es dann an der Stelle x=√5
Das hört sich plausibel an, müsstest du aber noch verifizieren.
Nähere Auskünfte, falls Interesse. (Kommentar!)
Es ist f(x)=x^4-1,5ax²=x^4 - 3/2 a x² =
x^4 - 2 * x² * 3/4 a +(3/4 a)² - (3/4 a)² =
(x² - 3/4 a)² - 9/16 a².
Die Gleichung - 9/16 a² = fa(x) hat nur dann zwei reelle Lösungen x, wenn a positiv ist. Einen W-förmigen Verlauf nimmt der Graph von fa also nur dann an, wenn a positiv ist. Und auch nur dann gibt es zwei Wendepunkte.
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