Kann mir jemand erklären wo die Ankathete und Gegenkathete im rechtw. Dreieck ist?
Ich verwechsel sie immer. Kann mir da jemand helfen? Ein Merksatz oder eine Eselsbrücke wäre hilfreich.
8 Antworten
Du stehst in einem Winkel des Dreiecks. Nebenan liegt die Ankathete, und gegenüber die Gegenkathete.
Meist liegt das Problem im Verständnis darin, dass NICHT klar ist, dass
die Bezeichnungen Ankathete und Gegenkathete sich immer auf einen Winkel im (rechtwinkligen) Dreieck beziehen, nicht auf das Dreieck an sich.Wenn das klar ist, ist auch schnell klar,
dass die Ankathete die Kathete ist, die am Winkel anliegt, also einer der Schenkel des Winkels ist (der andere ist immer die Hypotenuse).
Die Gegenkathete ist die Kathete, die dem Winkel gegenüber liegt, ihn also nicht berührt.
siehe Mathe-Formelbuch "Geometrie","rechtwinkliges Dreieck"
sin(a)=Gegenkathete/Hypotenuse=GK/Hy
cos(a)=Ankathete/Hypotenuse=Ak/Hy
tan(a)=Gegenkathete/Ankathete=GK/Ak
Merke: 1. Die Gegenkathe "GK" ist immer die Seite,die dem Winkel gegenüber liegt
- Die Ankathete "Ak" ist immer die Seite,die neben den Winkel liegt
- Die Hypotenuse ist immer die "längste" Seite im rechtwinkligen Dreieck
Also; Was nun die GK oder Ak ist,ist abhänging von den Winkel,den du betrachtest
GK und Ak bilden immer den 90° Winkel
Beispielrechnung: Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit a=4 cm liegt waagerecht und b=6cm steht senkrecht
Winkel Alpha (a) ist dann tan(a)=GK/Ak=6cm/4cm=1,5 ergibt
(a)=arctan(1,5)=56,3..°
nun der Winkel Beta (b) tan(b)=GK/Ak=4 cm/6cm=2/3 ergibt
(b=arctan(2/3)=33,69°
Hypotenuse ist c=Wurzel(a^2+b^2)=Wurzel(4^2+6^2)=7,211.. cm
nun rechnen wir mit sin(a)=Gk/Hy=b/c=6cm/7,211cm=0,83306,,
Alpha (a)=arcsin(0,83306)=56,41..° bis auf Rundungsfehler genau
nun Winkel Beta sin(b)=Gk/Hy=a/c=4cm/7,211cm=0,5547..
Beta (b)=arcsin(0,5547)=33,69° stimmt als auch
Fazit: Was nun Gegenkathete oder Ankathete ist,hängt davon ab,welchen Winkel man betrachtet.
Wechselt man den Winkel- Alpha (a) oder Beta (b)-,so wechseln auch "GK" und "AK"!
In reinem rechtwinkligen Dreieck ist c die Hypotenuse und a,b sind die Katheten. Der Winkel γ=90° liegt der Hypotenuse gegenüber, also c. Der Winkel α<90° liegt gegenüber von a, und entsprechend β=90°−α gegenüber von b.
Bezüglich des Winkels α ist also b=c·cos(α) die Ankathete („liegt am Winkel“) und a=c·sin(α) die Gegenkathete (liegt gegenüber vom Winkel). Bezüglich des Winkels β ist es dann natürlich genau umgekehrt, nämlich a=c·cos(β) ist die Ankathete und b=c·sin(β) ist die Gegenkathete.
Also ist b zugleich c·cos(α) und c·sin(β)=c·sin(90°−α). Das geht deshalb, weil grundsätzlich cos(α)=sin(90°−α), wobei man noch aufs Vorzeichen aufpassen müßte, wenn die Winkel auch größer als 90° sein dürfen (was in dem Fall aber nicht auftreten kann).
Hallo RandomGirl2003
Zeichne dir nebeneinander zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke ABC wie folgt auf: Unten eine waagrechte Strecke BC von etwa 4cm Länge, in C eine senkrechte Strecke CA von etwa 3cm Länge nach oben. Verbinde A mit B. In beiden Dreiecken ist AB die längste Seite, die dem rechten Winkel bei C gegenüber liegt, die Hypotenuse. Diese hebst du (mit roter Farbe oder Leuchtfarbe) hervor. Nun zeichnest du bei B den Winkel beta und bei A den Winkel alpha ein. Außerdem schreibst du noch an die Strecke BC den Seitennamen a hin, an die Strecke CA den Seitennamen b und an die Strecke AB den Seitennamen c. Die kürzeren Seiten a (Strecke BC) und b (Strecke CA) sind die Katheten.
Im ersten Dreieck hebst du nun den Winkel beta (mit roter Farbe oder Leuchtfarbe) hervor. Welche der Katheten liegt am Winkel beta an? Das ist a, also ist a die Ankathete. Welche Seite liegt dem Winkel beta gegenüber? Das ist b, also ist b die Gegenkathete. Was ist also der Sinus von beta? Sinus ist das Verhältnis Gegenkathete zu Hypotenus, also sin(beta) = b/c. Entsprechend ist cos(beta) = Ankathete/Hypotenuse = a/c.
Wie kann man sich nun merken, dass Gegenkathete durch Hypotenuse gleich Sinus ist? Eselsbrücke: Sine ist lateinisch und heißt ohne. Die Gegenkathete ist ohne Berührung mit dem Winkel beta.
Wie merkt man sich, dass Kosinus gleich Ankathete durch Hypotenuse ist? Eselsbrücke: Con, co ist lateinisch und heißt mit. Die Ankathete ist die Kathete mit Berührung des Winkels beta.
Im zweiten Dreieck hebst du nun den Winkel alpha (mit roter Farbe oder Leuchtfarbe) hervor. Welche Kathete liegt am Winkel Alpha an? Natürlich b. Welche Kathete liegt Alpha gegenüber? Richtig, es ist a. Also ist b die Ankathete und a die Gegenkathete zum Winkel alpha..
Damit ist a/c = sin(alpha) und b/c = cos(alpha).
Vergleicht man die Beziehungen in beiden Dreiecken, so stellt man fest:
a/c = sin(alpha) = cos(beta) und b/c = cos(alpha) = sin(beta)
Ich hoffe, dass die beiden Eselsbrücken dir in Zukunft helfen.
Es grüßt HEWKLDOe.
Danke für den Stern!