kann mir jemand den lösung für diese integrale sagen?

danke

Answer 1

[mihisu]

Partialbruchzerlegung und dann den natürlichen Logarithmus verwenden...

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$\int\frac{x+3}{x^3-x}\,\text{d}x$

$=\int\frac{x+3}{x\cdot \left(x^2-1\right)}\,\text{d}x$

$=\int\frac{x+3}{x\cdot \left(x-1\right)\cdot \left(x+1\right)}\,\text{d}x$

$=\int\left(\frac{0+3}{\left(0-1\right)\cdot \left(0+1\right)}\cdot \frac{1}{x}+\frac{1+3}{1\cdot \left(1+1\right)}\cdot \frac{1}{x-1}+\frac{-1+3}{-1\cdot \left(-1-1\right)}\cdot \frac{1}{x+1}\right)\,\text{d}x$

$=\int\left(-3\cdot \frac{1}{x}+2\cdot \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\right)\,\text{d}x$

$=-3\cdot \ln\left(\left\lvert x\right\rvert\right)+2\cdot \ln\left(\left\lvert x-1\right\rvert\right)+\ln\left(\left\lvert x+1\right\rvert\right)+C$

Bzw. könnte man das noch zu...

$=\ln\left(\left\lvert \frac{\left(x-1\right)^2\cdot \left(x+1\right)}{x^3}\right\rvert\right)+C$

$=\ln\left(\left\lvert \frac{x^3-x^2-x+1}{x^3}\right\rvert\right)+C$

... zusammenfassen.

============

$\int \frac{x+1}{x^3+2x^2-x-2}\,\text{d}x$

$=\int \frac{x+1}{x^2\cdot\left(x+2\right)-1\cdot \left(x+2\right)}\,\text{d}x$

$=\int \frac{x+1}{\left(x^2-1\right)\cdot\left(x+2\right)}\,\text{d}x$

$=\int \frac{x+1}{\left(x-1\right)\cdot\left(x+1\right)\cdot\left(x+2\right)}\,\text{d}x$

$=\int \frac{1}{\left(x-1\right)\cdot\left(x+2\right)}\,\text{d}x$

$=\int \left(\frac{1}{1+2}\cdot \frac{1}{x-1}+\frac{1}{-2-1}\cdot \frac{1}{x+2}\right)\,\text{d}x$

$=\int \left(\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x-1}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x+2}\right)\,\text{d}x$

$=\frac{1}{3}\cdot \ln\left(\left\lvert x - 1\right\rvert\right)-\frac{1}{3}\cdot \ln\left(\left\lvert x+2\right\rvert\right)+C$

$=\frac{1}{3}\cdot \left(\ln\left(\left\lvert x - 1\right\rvert\right)-\ln\left(\left\lvert x+2\right\rvert\right)\right)+C$

$=\frac{1}{3}\cdot \ln\left(\frac{\left\lvert x - 1\right\rvert}{\left\lvert x+2\right\rvert}\right)+C$

$=\frac{1}{3}\cdot \ln\left(\left\lvert \frac{x - 1}{x+2}\right\rvert\right)+C$

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

Partialbruchzerlegung.

Linker Nenner x*(x+1)*(x-1); rechter Nenner (x+2)*(x+1)*(x-1).

Herzliche Grüße,

Willy