Kann mir das einer Vorrechnen und erklären?
3 Antworten
Der Kiosk soll rechteckig und möglichst groß werden. Folglich lautet die Extremalbedingung:
(1) A = a * b → Maximum
mit a = länge Kiosk und b = Breite Kiosk
Die Form und Ausdehnung der Wege grenzt die Möglichkeiten ein. Wie lässt sich daraus eine Bedingung formulieren?
Hier hilft der Strahlensatz. Wenn man eine Parallele im Abstand von 1,5 m zur Grundlinie zieht, entstehen ähnliche Dreiecke und es gilt:
(b - 1,5) / (5 - a) = (4 - b) / a
(2) a = 8 - 2 * b
Setzt man diese Nebenbedingung in (1) ein, ergibt das:
A(b) = (8 - 2 * b) * b
A'(b) = 8 - 4 * b
0 = 8 - 4 * b
b = 2
a = 4
Hallo,
der Weg ist links 4 m von der unteren Begrenzung entfernt, 5 m rechts davon nur noch 1,5 m. Er ist also innerhalb von 5 m um 2,5 m näher an die untere Straße gerückt.
Als Funktionsgleichung ausgedrückt: y=4-0,5x, wenn die linke Begrenzung die y-Achse und die untere die x-Achse darstellt.
Die Gleichung der Fläche des Kiosks lautet dann A(x)=x*(4-0,5x).
Das Maximum erhältst Du, wenn Du die Ableitung von A(x) gleich Null setzt.
Zur Kontrolle: x=4 m.
Herzliche Grüße,
Willy
Schritt 1
Spiegel die Zeichnung mal um die vertikale Achse und erstelle dann die Geradengleichung für den Weg:
y(x) = 1,5 + 0,5 x
(1,5 ist einfach der gegebene y-Achsenabschnitt; (4-1,5)/5 = 2,5/5=0,5 ist die Steigung)
Schritt 2
Berechne die Fläche. Zeichne sie in die Zeichnung der Geraden ein.
A(x) = (5-x) / y(x) = (5-x) (1,5 + 0,5 x) = 5 + x - 0.5 x^2
Schritt 3
Lösung des Maximalproblems. Finde die Nullstelle der Ableitung.
A'(x) = 1 - x = 0, also x = 1
Ergebnis
Die Fläche wird maximal bei x=1.
Probe: A(1) = 8
Denk dran, dass wir anfangs gespiegelt haben. x=1 bedeutet also unten vier Meter von der linken Kante.