Kann mir bitte jemand sagen, warum im allgemeinen für orthogonaler Geraden ------> m1*m2=-1?
Es hat was mit dem steigungsdreieck zu tun. Orthogonal heißt einfach nur, dass 2 lineare Gleichungen so verlaufen, dass da wo sie sich schneiden ein rechter Winkel entsteht.
3 Antworten
Am einfachsten kann ich mir das mit Vektorrechnung erklären. Zwei Geraden in einer Ebene schneiden sich genau dann im rechten Winkel, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind, wenn also ihr Skalarprodukt Null ergibt.
Ist nun m1 die Steigung der ersten Gerade und m2 die Steigung der zweiten Gerade, dann sind ihre Richtungsvektoren skalare Vielfache von
(1, m1) bzw (1, m2). Das Skalarprodukt dieser Vektoren lautet
1 * 1 + m1 * m2 = 1 + m1 * m2. Dieses muss gleich Null sein:
1 + m1 * m2 = 0
=> m1 * m2 = -1.
Stell Dir mal das Steigungsdreieck der "ersten" Geraden vor. Damit Du die Steigung der "zweiten" Geraden bekommst, musst Du dieses Steigungsdreieck um 90° drehen.
- Die "y-Seite" des ersten Dreiecks wird dann zur "x-Seite" des zweiten.
- Die "x-Seite" des ersten Dreiecks wird zur "y-Seite" des zweiten und wechselt dabei ihre Richtung von positiv nach negativ.
Wenn also die Steigung der ersten Geraden m1 = a/b ist, dann ist die Steigung der zweiten Geraden m2 = b/-a.
Grundsätzlich ist aber immer (a/b)*(b/-a) = ab/-ba = -1.
Wenn ich bei der einen Geraden b Einheiten nach rechts und a Einheiten nach oben gehe, dann muss ich bei der anderen Geraden a Einheiten nach rechts und b Einheiten nach unten gehen.
Also a/b * (-b/a) = -ab/(ab) = -1.
Beispiel mit Zahlen:
Wenn ich bei der einen Geraden 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben gehe, dann muss ich bei der anderen Geraden 3 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten gehen. Nur dann sind die Geraden senkrecht zueinander.
Also 3/2 * (-2/3) = -6/6 = -1.
Am besten zeichnest du es dir mal auf, dann wirst du es erkennen.