Kann mir bei dieser Matheaufgabe jemand helfen?
Ich muss die Aufgabe 19 lösen. Die Abbildung gehört zur Aufgabe 19), und ich verstehe nicht ganz wie ich die Tangentensteigung ausrechnen kann.
2 Antworten
Hallo,
die Tangente ist eine Gerade mit der Gleichung y=mx+b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.
Aus der Aufgabe wissen wir, daß b=5 ist, denn der Turm ist 100 m hoch und steht auf einem 400 m hohen Hang. Da eine Einheit 100 m entspricht, ist die Koordinate der Turmspitze (0|5).
Bleibt noch m. Die Tangente muß am Berührpunkt die gleiche Steigung wie die Funktionsgleichung haben. Du setzt daher die Ableitung von f(x)=-0,25x²+4, also
f'(x)=-0,5x in die Tangentengleichung für m ein:
y=-0,5x*x+5=-0,5x²+5.
Da der Berührpunkt ein gemeinsamer Punkt von Tangente und Parabel ist, wird nun gleichgesetzt:
-0,5x²+5=-0,25x²+4, also 0,25x²=1 und daher x²=4 und x=±2. Hier ist nur x=2 interessant.
Da m=-0,5x und x=2, ist m hier gleich -1.
Tangentensteigung ist -1 und die Gleichung y=-x+5.
Der gemeinsame Punkt ist daher (2|3)..
Bis zu diesem Punkt ist der Hang vom Turm aus einsehbar, danach nicht mehr.
Herzliche Grüße,
Willy
weil der Turm 100 m hoch ist , ist die Koordinate oben ( 0/5 )
Sehr typische Fragestellung : Von Punkt Tangente an Kurve mit bekannter Fkt-Glg
Ansatz : Die Steigung auf zwei Arten ausdrücken
erste :
Der Punkt an der Kurve hat die Koordinaten (px/py) , fortan nur (x/y)
y = -0.25x² + 4
Die Steigung mit Ableitung 2*-0.25x = -0.5x
.
zweite :
Steigung einer Geraden mit zwei Punkten ermitteln :L
(0/500) und (x/ -0.25x² + 4 )
( -0.25x² + 4 - 5)/ (x - 0 ) = ( -0.25x² + 4 - 5)/ x = -0.25x - 1/x
.
Gleichsetzen :
-0.25x - 1/x = -0.5x ................mal x
-0.25x² - 1 = -0.5x²..................+0.5x²............+1
0.25x² = 1 ..................mal 4 und wurzel
x1 = +2 , x2 = -2
ab 200 Meter Sichtweite ( Höhe = -0.25*2² + 4 = +3 oder 300 m ) ist Schicht im Schacht
