Kann man die Varianz berechnen wenn man nur den Erwartungswert hat?
Die Varianz einer Zufallsvariable X ist ja
E(X-E(X))^2, oder?
aber was setze ich für X ein? zb wenn X die Anzahl der Würfe für die erste 6 bei einem fairen Würfel sein soll.
2 Antworten
Kann man die Varianz berechnen wenn man nur den Erwartungswert hat?
Nein, es gibt Zufallsvariablen, die den Selben Erwartungswert haben, aber eine Andere Varianz.
Beispiel: Sei
P(X=1) = 0.5
P(X=-1)=0.5
Dann ist E(X)=0 und Var(X)=1
Sei nun Y = 2X, dann ist E(Y)=0, Var(Y)=4
Der Erwartungswert ist also gleich, die Varianz nicht.
Die Varianz einer Zufallsvariable X ist ja
E(X-E(X))^2, oder?
Fast, es soll E((X-E(X))^2) heißen.
aber was setze ich für X ein? zb wenn X die Anzahl der Würfe für die erste 6 bei einem fairen Würfel sein soll.
Du setzt nichts für X ein, du benutzt die Formel für den Erwartungswert.
Du multiplizierst also jeden Möglichen Wert von X mit dessen Wahrscheinlichkeit und Addiertst alles.
E((X-E(X))^2) bestimmst du genauso, du multiplizierst jeden möglichen Wert von (X-E(X))^2 (E(X) ist dabei eine Kosntante) mit der jeweiligen wahrscheinlich und addierst alles
Bei dem Beispiel oben bekommst du also:
Var(X) = (1-0)^2*0.5+(-1-0)^2*0.5=1
naja, an der Uni ist das oft selbst eine allgemeine Summe, die ja auch letzlich vom P(X) , welches auch eine Summe ist, abhängt.
Oder macht man grundsätzlich nichts falsch, wenn im E(X-E(X))^2 Ausdruck alle drei Summenzeichen unterschiedliche Indizee haben?
Du nutzt dann eine Innere Summe für E(X) und eine Äußere Summe für alles drum herum. Beides mit unterschiedliche Indizes.
Ok die Indizee von äußerer Summe und innere Summe sind unterschiedlich. In der inneren Summe habe ich jedoch auch P(X) gebraucht , da hatte ich auch ein Summenzeichen mit Indizee und des taucht in der inneren Summe(innerer Erwartungswer) auf .
In der äußeren Summe brauch ich das P aber ja auch nochmal - soll ich da dann ein anderen Indizee verwenden?
E((X—E(X))²) = E(X²–2XE(X)+E²(X)) = E(X²)–E(2XE(X))+E(E²(X)) = E(X²)–2E(X)E(X)+E²(X) = E(X²)–E²(X)
Was E(X²) sein soll, weiß ich allerdings auch nicht.
Wie kommt man auf dke Umformungen nach dem zweiten und dritten Gleichheitszeichen?
Was heißt das rechnerisch? Wie soll man sich das vorstellen? Mir sagt der Begriff leider gar nichts... :(
Die werden hier definiert:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Moment_(Stochastik)
Das ist im Grunde nur der Erwartungswert von X^2
Ich habe noch eine Frage, keine Ahnung ob du sie verstehst:
Erwartungswerte haben ja Summenzeichen mit einem Index.
Darf ich für das E(X-E(X))^2 den gleichen Summenindex(z.B. i=1) nehmen wie für das E(X) in der Klammer? und was wenn ein gleicher Summenindex wie in E(X) oder E(X-E(X))^2 in dem P(X) vorkommt welches man ja auch braucht um den Erwartungswert auszurechnen?