Kann jemand mir die Aufgabe erklären?
Ich habe Probleme ab der Aufgabe 3c). Wie soll man das vom Graphen ablesen?
4 Antworten
Du musst dir immer bewusst sein, was dir die erste und zweite Ableitung zeigen.
Der y-Wert der ersten Ableitung zeigt dir an, wie groß die Steigung deiner Funktion f(x) an der jeweiligen Stelle ist. Z.B. Ist f'(0) = 0, weil die Steigung an dieser Stelle 0 ist.
Die zweite Ableitung zeigt dir dein Krümmungsverhalten. Wenn du eine Rechtskurve bei f(x) hast, dann verläuft deine zweite Ableitung unter der x-Achse. Wenn dein Graph eine Linkskurve ist, dann verläuft die zweite Ableitung über der x-Achse. Und wenn die zweite Ableitung eine Nullstelle hat, dann hast du eine Wendestelle bei f(x).
Jetzt zu deinem Beispiel, was dir mit der Erklärung eigentlich schon logisch sein müsste. Es geht um die Stelle x=-1. An dieser Stelle soll die erste Ableitung kleiner als 0 sein. Jetzt übersetzen wir: An dieser Stelle soll die Steigung kleiner als 0 sein.
Eine Steigung kleiner als 0 bedeutet, dass die Funktion sinkt. Wenn das der Fall ist bei x=-1, dann stimmt die Aussage.
Um die Aufgaben zu meistern, musst du erstmal das System dahinter verstehen. Daher habe ich die Funktion einigermaßen gut nachgebildet und dir aufgezeichnet. Ich habe auch die Ableitungen dazugenommen.
Aus der Schule kennst du wahrscheinlich die bedingungen für Extrempunkte
und die Bedingungen für Wendepunkte
Übrigens: falls bei den Extrempunkten f''(x) doch einmal = 0 sein sollte, dann ist das ein Sattelpunkt. Aber dies ist in dieser Aufgabe nicht relevant.
Was heißt das nun?
- Dort, wo f(x) extremal ist, hat die erste Ableitung ihre Nullstelle
- dort, wo f(x) einen Wendepunkt hat, hat die zweite Ableitung ihre Nullstelle (und die erste hat ihr Extremum).
Ich habe dir das veranschaulicht. Die blaue Linie ist dein f(x), die grüne die erste Ableitung und die graue die zweite Ableitung. Die rot- und schwarz-gestrichelten vertikalen Linien sind Hilfslinien an den markanten Stellen!
Schau dir die Stichpunkte an. Du wirst sehen, dass es jetzt Sinn ergibt und weswegen man für Extrempunkte auf f'(x) = 0 prüft.
Um zu deiner Aufgabe zurückzukommen:
3c) falsch. Die f(x) steigt, daher ist f'(x) im Positiven
3d) falsch. Die f(x) fällt seit ihrem Extrempunkt und daher ist die Ableitung negativ.
3e) falsch (zwar größer 0, aber nicht gleich 0)
3f) wahr
f'(x0) ist ja die lokale Steigung der Funktion an der Stelle x0
Für f'(-1) guckst du dir die lokale Steigung der Funktion an dieser Stelle an. Würdest du eine Tangente an dieser Stelle anlegen, würdest du sehen dass die Tangente eine positive Steigung hat, also ist f'(-1) > 0. Somit ist bei 3c) die Aussage f'(-1) < 0 falsch. Für f'(x0) einfach die Tangentensteigung angucken. 3d) ist falsch, da f'(3) < 0 ist
Bei f''(x0) siehst du dir das Krümmungsverhalten an bzw. ob die Tangente oberhalb oder unterhalb des Funktionsgraphen bleibt. 3e) ist falsch, da die Tangente an der Stelle x=1 unterhalb des Funktionsgraphen wie in der Umgebung von x = 1 bleibt. Damit f''(1) = 0 ist müsste die Tangente an der Stelle von unterhalb zu oberhalb des Funktionsgraphen wechseln. 3f) ist richtig, da die Funktionswerte der Ableitungsfunktion um die Stelle x = 0 von positiven Funktionswerten zu negativen Funktionswerten wechseln. f''(x) ist die Ableitung von f'(x). Wenn die Funktionswerte von f'(x) von positiv zu negativ werden um 0 dann ist die lokale Steigung bei der 1. Ableitungsfunktion an der Stelle 0 negativ, also gilt f''(0) < 0. 3f) ist also richtig
die Fkt f steigt im bereich um x = -1, daher ist dort die erste Ableitung negativ. Denn f' gibt ja Vorzeichen und Betrag der Steigung an.
Es ist also keine reine Frage des Ablesens, sondern man muss Schlussfolgern aus dem , was die Funktion sichtbar macht.
man sieht , dass die Fkt dort steigt : wenn man gedanklich da eine Tangente ranlegt , die eine + Steigung hat . Dann ist f' an den Stellen natürlich auch positiv , bis ab der 0 f' negativ wird.
Die erste Ableitung ist dort positiv meinst du, oder?