Kann jemand diese Matheaufgabe lösen (Differenzierbarkeit)?

Prüfen Sie mit der h-Methode, ob die Funktion f an der Stele x = 0 differenzierbar ist, wobei:

f(x) = x+1, falls x>0 und x, falls x<=0

Answer 1

[evtldocha]

Die Funktion ist bei x=0 natürlich nicht differenzierbar, da sie dort nicht stetig ist.

Formal folgt das auch aus der Definition der Differenzierbarkeit:

Linksseitiger Grenzwert

$\lim_{h^-\to0}\ \frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=\lim_{h^-\to0}\frac{0+h-0}{h}=\ 1$

Rechtsseitiger Grenzwert:

$\lim_{h^+→0​}\ \frac{f(0+h)−f(0)}{h}=​\lim_{h^+→0​}\ \frac{0+1+h-0}{h}=\lim_{h^+→0​}\left(\frac{1}{h}+1\right)$

Und das divergiert.

Beachte hier beim rechtsseitigen Grenzwert, dass für f(0+h) entsprechend der Definition der Funktion f(x) = x+1 gilt (x+h >0) und damit für f(0+h) der Funktionswert 0 + 1 + h verwendet werden muss, während für f(0) nach Definition der Funktion gilt f(0) = 0. Oder anders: Der Differenzenquotient enthält hier beide Definitions-Intervalle.

Answer 2

[Wechselfreund]

Ist nicht Stetigkeit Vorbedingung für Differenzierbarkeit?

Comments

[PWolff]

Vermutlich ist diese Aufgabe eine Vorbereitung auf diesen Satz.

Answer 3

[PWolff]

Fallunterscheidung:

h > 0

h < 0

(für h < 0 vielleicht substituieren: h' := -h)

Dann wie gelernt weiterrechnen und schauen, ob da was Sinnvolles herauskommt.