Warum sind gebrochen rationale Funktionen differenzierbar?
Man sagt doch, Stetigkeit sagt etwas über die Differenzierbarkeit einer Funktion aus. Gebrochen rationale Funktionen besitzen aber Pole und werden trotzdem abgeleitet?
4 Antworten
Zusatz zu den anderen - vollkommen richtigen! - Antworten: Deine Fragestellung ist natürlich berechtigt, aber eben genau dein Einwand über die Pole enthält ja die Antwort: Genau dort ist die Funktion eben nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar.
Unmathematisch formuliert: Die 1.Ableitung liefert dir die Steigung einer Funktion - an den Polstellen hast du aber keine Steigung bzw. die Steigung ist "unendlich", was de facto sozusagen das selbe ist. Aus diesem Grund haben "gebrochen rationale Funktionen" auch eine eingeschränkte Definitionsmenge - eben ohne die Polstelle; sonst wäre es keine Funktion → siehe "Definition einer Funktion" (findest du sicher irgendwo in einem deiner Mathebücher oder im Internet).
Fazit: Die Polstelle ist nicht Teil der Funktion, somit ist die Funktion überall stetig und damit überall differenzierbar ;-)
Falls das unlogisch erscheint (was es im Prinzip auch ist grins, aber es funktioniert!), dann überlege so: Die Geschwindigkeit wird üblicherweise (im Straßenverkehr) in km/h gemessen, also welche Strecke lege ich in einer bestimmten Zeitspanne zurück. Du fährst zB mit Auto gemütlich auf der Autobahn mit 70 km/h (und ignorierst die Idioten, die dich anblinken, weil sie es eilig haben), dann fährst du in jedem Moment 70km/h. Jetzt gibt dir die Geschwindikeit aber die zurückgelegte Wegstrecke pro Zeitspanne an. In einem bestimmten Moment - also einem Zeitpunkt - ist die Spanne aber gleich 0. Das heißt, die Geschwindigkeit ist x/0 → ich kann aber nicht irgendwas in 0 Teile zerteilen (=dividieren), folglich habe ich in einem bestimmten Zeitpunkt keine Geschwindigkeit → das gilt für jeden Zeitpunkt! → die Zeitspanne besteht aus ganz vielen Punkten, in denen ich keine Geschwindigkeit habe, folglich hab ich logischer Weise keine Geschwindigkeit ;-) Du wirst mir trotzdem zugeben, dass du dauernd mit 70 km/h unterwegs bist →LOGISCH oder? ;-)
Es geht bei der Aussage bzgl. Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion um bestimmte x-Werte, nicht die ganze Funktion.
Eine Funktion, die an einer Stelle x nicht stetig ist, ist dort auch nicht differenzierbar.
Wenn sich die Punkte F(x) innerhalb eines Intervalls( a , b ) nahtlos aneinanderfügen , wenn es also keine Sprünge gibt , dann ist F(x) im Intervall stetig und differenzierbar !
In jedem Punkt existiert ein linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert und diese stimmen überein.