Kann jemand die Mathe Aufgabe lösen?
(Keine blöde Kommentare)
2 Antworten
Wenn da steht...
„wie im Beispiel“
Kommt dir dann nicht in den Sinn, das es evtl. hilfreich sein könnte, wenn du dir mal ansiehst, welches Beispiel das ist? Und: Kommt es dir dann nicht in den Sinn, dass es für uns hilfreich sein könnte, dieses Beispiel zu kennen, und uns dieses Beispiel dann zu zeigen?
Noch ein blöder Kommentar von mir: Ich halte deinen Kommentar „Keine blöden Kommentare“ für recht blöd.
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Zu deinem eigentlichen Problem:
Man kann auf die Idee kommen, zu quadrieren, um die Wurzel wegzubekommen...
Diese Gleichung [G2] ist dann offensichtlich für alle reellen Zahlen x erfüllt. [Die Gleichung entspricht der binomischen Formel (a - b)² = a² - 2ab + b² für a = x und b = 3. Bzw. kann man auch einfach stumpfsinnig die rechte Seite ausmultiplizieren, und sieht dann, dass bei x² - 6x + 9 = x² - 6x + 9 beide Seiten immer gleich sind.]
Daher könnte man denken, dass auch die ursprüngliche Gleichung [G1] die gesamte Menge der reellen Zahlen als Lösungsmenge hat.
ABER: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung! Wenn man quadriert, können Lösungen hinzukommen, die ursprünglich keine Lösungen gewesen sind.
- Beispielsweise ist die Gleichung 1 = -1 falsch. (1 = -1 erhält man übrigens, wenn man x = 2 in die Gleichung [G1] einsetzt.)
- Wenn man bei der falschen Gleichung 1 = (-1) quadriert, erhält man jedoch dann 1² = (-1)², also 1 = 1, was wahr ist. (1 = 1 erhält man entsprechend auch, wenn man x = 2 in die Gleichung [G2] einsetzt.)
- (Dementsprechend kann man erkennen, dass beispielsweise x = 2 als Lösung der Gleichung [G2] hinzugekommen ist, obwohl x = 2 keine Lösung der ursprünglichen Gleichung [G1] gewesen ist.)
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Wie kommt man nun auf die richtige Lösungsmenge?
Quadrieren ist zwar nicht in jedem Fall eine Äquivalenzumformung, aber wenn man sich auf nicht-negative Zahlen beschränkt doch... Für alle nicht-negative reelle Zahlen a, b ist a = b äquivalent zu a² = b².
Man muss also darauf achten, ob die Zahlen, die man quadriert negativ sind oder nicht-negativ sind.
- Die linke Seite der Gleichung [G2] kann nicht negativ sein. (Quadratwurzeln von reellen Zahlen sind als nicht-negative Zahlen definiert.)
- Andererseits wird die rechte Seite x - 3 der Gleichung [G1] für x < 3 negativ, weshalb die Zahlen x mit x < 3 keine Lösungen der Gleichung [G1] sein können. Es kommen nur die Zahlen x mit x ≥ 3 in Frage.
- Für x ≥ 3 sind beide Seiten der Gleichung [G1] nicht-negativ, so dass in diesem Fall das Quadrieren eine Äquivalenzumformung ist, und entsprechend [G2] alle Zahlen in diesem Fall dann eine Lösung der Gleichung [G2] und damit auch von [G1] sind. Dementsprechend ist jede reelle Zahl x mit x ≥ 3 eine Lösung der Gleichung [G1].
Ergebnis: Die reellen Lösungen der Gleichung [G1] sind genau die reellen Zahlen x mit x ≥ 3.
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Alternativ könnte man die Gleichung [G1] auch folgendermaßen lösen...
Entsprechend der Definition der Quadratwurzel einer reellen Zahl bezeichnet √((x-3)²) die nicht-negative Lösung y der Gleichung y² = (x - 3)². Die Gleichung y² = (x - 3)² hat die beiden Lösungen y = x - 3 bzw. y = -(x - 3). Welche dieser beiden Lösungen ist nun nicht-negativ? Dazu muss man eine Fallunterscheidung durchführen...
1. Fall: x - 3 ≥ 0 bzw. x ≥ 3
In diesem Fall ist x - 3 nicht-negativ und damit √((x-3)²) = x-3. Damit erhält man dann beim Lösen der Gleichung weiter...
Das ist offensichtlich für alle Zahlen x in diesem Fall erfüllt. Alle reellen Zahlen x, welche die Fallbedingung erfüllen, also alle reellen Zahlen x mit x ≥ 3, erfüllen also die Gleichung.
2. Fall: x - 3 < 0 bzw. x < 3
In diesem Fall ist x - 3 negativ und -(x - 3) nicht-negativ. Dementsprechend ist in diesem Fall dann √((x-3)²) = -(x-3) und man erhält beim Lösen der Gleichung weiter...
Die Gleichung ist also in diesem Fall nicht erfüllbar.
Dementsprechend sind insgesamt betrachtet nur die reellen Zahlen x mit x ≥ 3 aus dem 1. Fall Lösungen der Gleichung. Die Lösungsmenge der Gleichung [G1] ist dann dementsprechend...
Meist provozierst du mit „Keine blöden Kommentare!“ erst recht blöde Kommentare. Wenn du das nicht geschrieben hättest, wäre ich gar nicht auf die Idee gekommen meinen „blöden Kommentar“ zu formulieren.
Daher mein Kommentar: Lieber einfach sachlich das Problem schildern. Dabei unter Umständen grob aufzeigen, welche Gedanken du dir bis dahin selbst schon gemacht hast.
Dann hätte ich mir auch meinen Kommentar mit „Welches Beispiel?“ sparen können, wenn mir klar gewesen wäre, dass du schon nach einem entsprechenden Beispiel Ausschau gehalten hast.
Aber wenn du nur schreibst... „Kann mir das jemand lösen?“ ... Dann denken viele Leute einfach, dass sich selbst keine Mühe gegeben worden ist. Und dann denken viele Leute auch (evtl. fälschlicherweise!): „Wie blöd! Da wurde sich ja überhaupt keine Mühe gegeben! Es wurde noch nicht einmal bemerkt, dass da von einem Beispiel die Rede ist, und dass das doch evtl. zum Lösen der Aufgabe notwendig oder zumindest hilfreich wäre.“
Das sollt jetzt auch nicht böse von mir gemeint sein. Ich möchte nur erreichen, dass dir ein wenig klarer wird, was einige Leute zu „blöden Kommentaren“ provozieren kann.
Hallo,
für x<3 wird die rechte Seite der Gleichung negativ, während links eine Wurzel steht.
Zwar würde auch (-a)*(-a) a² ergeben wie a*a, aber als Wurzel aus a² wäre nur a zugelassen, nicht -a.
x-3 gilt also nur als Wurzel von (x-3)², solange x-3 nicht negativ wird.
Das liegt weniger am Rechnerischen als an der Definition der Wurzel.
Herzliche Grüße,
Willy
Danke,dass war ja auch der Problem,es gabs kein Beispiel,sonst hätte ich auch nicht die Frage gestellt.Und warum haltest du es für blöd,wenn ich schreibe ,,keine blöde Kommentare.”Ich habe schon viele Fragen für die Schule gestellt und es kamen immer wieder die Antworten ,,bist du blöd” ,,lies doch nochmal die Aufgabe” usw.Und was bringt so einer Aussage?